В курсе общей физики для расчета электрических цепей используют, в основном, законы Ома и Кирхгофа, в которые входят напряжения, токи и сопротивления. Однако для расчета сложных электрических цепей, и в особенности цепей переменного тока, целесообразно вместо сопротивления использовать проводимость.

Проводимость в цепи постоянного тока g - величина, обратная сопротивлению

Единицей измерения проводимости в СИ является сименс (в честь немецкого электротехника XIX в. Э. В. Сименса).

1 Сим - это проводимость проводника сопротивлением 1 Ом.

В цепях переменного тока, как известно, существует три типа сопротивлений: активное R, реактивное и полное г. По аналогии с этим введено и три типа проводимостей: активная g, реактивная b и полная у. Однако только полная проводимость у является величиной, обратной полному сопротивлению :

Для введения активной g и реактивной b проводимостей рассмотрим цепь переменного тока из последовательно соединенных активного R и индуктивного сопротивлений (рис. 1-25, а). Построим для нее векторную диаграмму (рис. 1-25, б). Ток в цепи разложим на активную и реактивную составляющие и от полученного треугольника токов перейдем к треугольнику сопротивлений (рис. 1-25, в). Из последнего имеем:

Из векторной диаграммы (см. рис. 1-25, б) с учетом формулы (1.30) имеем:

где активная проводимость,

где реактивная проводимость.

Теперь установим взаимосвязь между проводимостями. Для рассматриваемой цепи имеем:

Подставив значения соответственно из соотношений (1.31) и (1.32), получим:

где полная проводимость цепи.

По аналогии с треугольником сопротивлений (рис. 1-25, в) строим треугольник проводимостей (рис. 1-25, г). По аналогии с индуктивным и емкостным сопротивлениями различают индуктивную и емкостную проводимости.

В случае разветвленной цепи (рис. 1-26, а) схему легко преобразовать в так называемую эквивалентную схему (рис. 1-26, б), в которой две ветви заменены одной с соответствующими эквивалентными активным и

реактивным сопротивлениями. Расчет последних сопротивлении, как и других параметров схемы, проще с использованием проводимостей. Установим основные закономерности для проводимостей в разветвленной цепи.

Выразим общий ток через его составляющие или эквивалентные проводимости:

В свою очередь, активная составляющая общего тока равна сумме активных составляющих токов ветвей:

т. е. эквивалентная активная проводимость разветвления равна арифметической сумме активных проводимостей ветвей.

Так как реактивные составляющие ветвей рассматриваемой цепи находятся в противофазе, то для реактивной составляющей общего тока имеем:

т. е. эквивалентная реактивная проводимость разветвления равна алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельных ветвей, при этом берется со знаком «плюс», а - со знаком «минус».

При анализе и расчете разветвленных цепей переменного тока удобнее использовать не сопротивления отдельных ветвей, а их проводимости.

Предположим, что в состав разветвленной цепи входит ветвь с последовательным соединением активного R , индуктивного X L и емкостного Х с сопротивлений (рис. 2.17).

При построении векторной диаграммы ток / ветви разложим на составляющие :

• активную составляющую / а, совпадающую с напряжением U по фазе;
• индуктивную составляющую I L , отстающую по фазе от напряжения U на угол я/2;
• емкостную составляющую / с, опережающую напряжение по фазе на угол я/2.

Рис. 2.17.

Рис. 2.18.

Рис. 2.19.

Рис. 2.20.

В качестве базисного вектора примем вектор напряжения U, как величины, общей для всех ветвей цепи (рис. 2.18). При построении диаграммы принято, что

Выделим из векторной диаграммы треугольник ОАВ. Этот треугольник называется треугольником токов (рис. 2.19). Вектор АВ называется реактивной составляющей токов:

Из треугольника токов получается соотношение между током / цепи и его составляющими:

Разделив все стороны треугольника токов на напряжение U, получим треугольник проводимостей (рис. 2.20). В этом треугольнике G = / а / U - активная проводимость, B L = I L /U - индуктивная проводимость, В с = Iq/U - емкостная проводимость, Y = I/U - полная проводимость. Разность индуктивной и емкостной проводимостей называется реактивной проводимостью:

Из треугольника проводимостей получаются следующие расчетные выражения:

Таким образом, ветвь схемы (рис. 2.17), состоящей из последовательно соединенных сопротивлений R, X L и Х с, может быть заменена параллельным соединением проводимостей G, В^ и В с (рис. 2.21).

Обе схемы равноценны, т. е. эквивалентны. Схемы называются эквивалентными, если при подведении к ним напряжения ток / в разветвленной части цепи обеих схем одинаков, сдвиг по фазе между напряжением и током один и тот же по величине и знаку.

Установим связь между сопротивлениями и проводимостями рассматриваемой ветви. Для схемы, изображенной на рис. 2.17:

Для схемы, изображенной на рис. 2.21:

Из сопоставления выражений для тока следует, что полная проводимость Y равна обратной величине полного сопротивления:

Подставив в выражения для активной и реактивной проводимостей значения Y, sin ср и cos ср, получим формулы преобразования последовательного соединения в параллельное:

Аналогичным образом можно получить формулы преобразования параллельного соединения в последовательное:

Рис. 2.21.

Следует иметь в виду, что обратными друг другу являются только полное сопротивление Z и полная проводимость 7; активное и реактивное сопротивления и проводимость не являются обратными величинами.

Полученные формулы могут быть использованы при расчете разветвленных цепей.

Пример 2.8. К линии электропередачи (рис. 2.22), имеющей активное сопротивление R = 4 Ом и индуктивное сопротивление X = 3 Ом подключены приемники. Параметры приемников: R = 7 Ом, Х= 24 Ом, R = 16 Ом; Х= 12 Ом. Напряжение на приемниках 17= 220 В.

Определить ток в линии и напряжение в ее начале.

Решение. Активные и реактивные проводимости приемников:

Активные и реактивные составляющие токов приемников:

Активная составляющая тока линии равна арифметической сумме активных составляющих токов приемников:

Рис. 2.22.

Реактивная составляющая тока линии равна алгебраической сумме реактивных составляющих токов приемников (индуктивным токам приписывают положительный знак, емкостным - отрицательный):

Ток линии:

Эквивалентная активная проводимость приемников

Эквивалентная реактивная проводимость приемников

Эквивалентное активное сопротивление приемников

Эквивалентное реактивное сопротивление (имеющее емкостный характер, так как В пр является емкостной)

Эквивалентное сопротивление всей цепи:

Напряжение в начале линии:

Решение получилось довольно громоздким. Поэтому метод проводимостей применяется лишь при расчете сравнительно простых цепей, например, только при параллельном соединении сопротивлений. Для расчета более сложных цепей применяется символический метод расчета, суть которого будет рассмотрена далее.

Вопросы для самопроверки

• 1. Что означают понятия «активная составляющая тока» и «реактивная составляющая тока»?
• 2. Какие отношения можно записать для треугольников токов и проводимостей?

• 3. Являются ли проводимости и соответствующие сопротивления величинами, обратными друг другу?
• 4. Какие существуют простейшие схемы замещения электрических приемников? Когда и какой из них целесообразнее воспользоваться?
• 5. Какие существуют зависимости между сопротивлениями и проводимостями?

• Физически ток не имеет составляющих: по всем элементам ветви протекает один и тотже ток. Однако с целью упрощения анализов и расчетов электрических цепей целесообразноток раскладывать на условные составляющие.

Результаты расчетов длины векторов напряжения и токов и углов сдвига фаз использованы при построении векторной диаграммы электрической цепи (рис. 3.28).

3.14. Проводимости в электрических цепях синусоидального напряжения

При расчете электрических цепей однофазного синусоидального напряжения используются понятия активной, индуктивной реактивной, емкостнойреактивной иполной проводимостей.

Ветви электрической цепи, содержащие только активное сопротивление (рис. 3.3), характеризуются активной проводимостью g . Для ее расчета используется формула

Для ветви электрической цепи, содержащей идеализированный индуктивный элемент (см. рис. 3.6), вводится понятие индуктивной реактивной проводимости b L . Расчет проводимости

C x C

Ветви электрической цепи, содержащие катушки, замещенные последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений (см. рис. 3.12), характеризуются активной g ,

индуктивной реактивной b L и полной y проводимостями. Для их расчета в этом случае применяются следующие выражения:

			r 2 + x L 2 .

Ветви электрической цепи, содержащие конденсаторы, замещенные последовательным соединением активного и емкостного сопротивлений (см. рис 3.16), характеризуются активной g , емкостной реактивной b C и полной y проводимостями. Для

расчета g , b C , y используются формулы

где z – полное сопротивление ветви.

y = 1 .
Полное сопротивление z	в этом случае следует рассчиты-

вать по выражению

z = r2 + (x		− x ) 2 .

Для ветвей электрических цепей, имеющих в своей структуре индуктивные и емкостные сопротивления (см. рис. 3.20), вводится понятие реактивной проводимости ветви. Реактивную проводимость принято обозначать буквой b , а для определения ее величины применяется формула

тивная проводимость ветви имеет емкостной характер.

3.15. Активные и реактивные составляющие токов

в электрических цепях однофазного синусоидального напряжения

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 3.29), в которой активное и индуктивное сопротивления соединены последовательно и подключены к источнику однофазного синусоидального напряжения. Векторная диаграмма данной электрической цепи приведена на рис. 3.30.

Она построена для случая, когда начальная фаза напряжения Ψ u равна нулю. Длины векторов в масштабе соответствуют дей-

ствующим значениям напряжения и тока. При этом действующие значения напряжения итока рассчитываются по выражениям

	r 2 + x L 2

Угол сдвига фаз ϕ между векторами напряжения и тока определяется из формулы

ϕ = arccos

Представим вектор тока в виде суммы двух векторов:

		I а + I р .

Составляющая вектора тока I а совпадает по фазе с вектором напряжения и называется активной составляющей. Составляющая вектора тока I р отстает по фазе относительно вектора напряжения

на 90 градусов и называется индуктивной реактивной составляющей. Величины активной и реактивной составляющих тока находятся изрешения прямоугольного треугольника:

	I а = I cos ϕ = U						U g ,
			I sin ϕ = U				U b .

Представление тока I в виде двух составляющих позволяет от последовательной схемы замещения катушки (см. рис. 3.29) перейти к параллельной схеме замещения(рис. 3.31).

Активная составляющая тока I а обусловлена активной

проводимостью g , а индуктив-

Последовательная схема замещения конденсатора и векторная диаграмма, соответствующая ей, приведены на рис. 3.32, 3.33. Представление тока I в виде двух составляющих позволяет от последовательной схемы замещения конденсатора (см. рис. 3.32) перейтикпараллельной схеме замещения (рис. 3.34).

		Активная	составляющая
		обусловлена активной проводи-
	мостью g , а емкостная реактивная
	составляющая тока I р емкостной
	реактивной проводимостью b C .
		Активная	составляющая
	совпадает по фазе с напряжением и
	рассчитывается по формуле
	Рис. 3.34. Параллельная	I а = I cos ϕ = U			U g (3.172)
	схема замещения
	конденсатора

Реактивная составляющая тока опережает по фазе вектор напряжения на 90 градусов, а величина этой составляющей на-

ходится из формулы
		I sin ϕ = U			U b .
Полное сопротивление, входящее в выражения I а ,						I р , рас-
считывается по известной формуле (3.159)
		z = r2 + x

Реактивная составляющая тока, опережающая по фазе вектор напряженияна 90 градусов, называетсяемкостнойсоставляющей.

Введение понятий активной, индуктивной, емкостной проводимостей и представление тока катушки и тока конденсатора в виде активных и реактивных составляющих позволяет производить расчеты активных и реактивных мощностей катушки и конденсатора через соответствующие проводимости и состав-

ляющие тока. Для этого используются формулы
P = U 2 g = UIа ,
	U 2 b = UI

Рис. 3.35. Схема электрической цепи с параллельным соединением катушки и конденсатора

P , Q L , Q C , полученных при анализе электромагнитных процессов

в реальной катушкеиндуктивности иреальном конденсаторе.

3.16. Резонанс токов

В электрических цепях однофазного синусоидального напряжения, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, включенные параллельно, может возникать явление резонанса токов.

Для выяснения физической сущности данного явления рассмотрим электрическую цепь, содержащую источник однофазного синусоидального напряжения, катушку индуктивности и конденсатор (рис. 3.35).

Источник представлен

внешними зажимами, между которыми действует однофазное синусоидальное напряжение, мгновенное и

действующее значения которого равны соответственно u , U . Катушка индуктивности на схеме замещена активным сопротивлением r к и индуктивностью L , включенными последовательно. Конденсатор представлен схемой, содержащей активное сопротивление r C и емкость C , соединенными последовательно. При угловой частоте синусоидального напряжения ω индуктивное сопротивление катушки x L = ω L , а емкостное сопротив-

ление конденсатора x C = ω 1 C . Катушка и конденсатор включе-

ны параллельно и подключены к внешним зажимам источника электрической энергии. Мгновенные значения токов источника, катушки индуктивности и конденсатора i , i 1 , i 2 , а их действую-

щие значения I , I 1 , I 2 .

Резонансное состояние электрической цепи (см. рис. 3.35) наступает при выполнении равенства

b L 1 = b C 2 .

Данное равенство может быть переписано в виде

	+ (ωL ) 2			+ (1 / ω C )2

Достижение резонанса токов в электрической цепи (см. рис. 3.35) возможно за счет регулирования частоты питающего напряжения f , посредством изменения индуктивности катушки

L или емкости конденсатора C . Резонансное состояние электрической цепи может быть достигнуто также одновременным регулированием двух или трех указанных параметров. Активное сопротивление катушки r к и активное сопротивление конденса-

тора r C весьма незначительны по величине, и поэтому вариант достижения резонанса токов за счет изменения величин активных сопротивлений r к и r C является маловероятным.

Векторная диаграмма электрической цепи (см. рис. 3.35), в которой наблюдается явление резонанса токов, приведена на рис. 3.36. Действующие значения токов катушки и конденсатора и углы сдвига фаз между вектором напряжения и векторами токов рассчитаны по формулам

I2
		Arccos

Действующее значение напряжения источника электрической энергии определяется через амплитудное его значение по выражению

Если векторы токов I 1 , I 2 заменить векторами активных и

реактивных составляющих, то равенство (3.184) можно записать следующем образом:

I 1а + I 1р + I 2а + I 2р = I а + I р ,

где I а , I р – векторы активной и реактивной составляющих тока источника электрической энергии,

I а = I а1 + I а2 ,

I р = I р1 + I р2 .

Активная составляющая тока катушки и активная составляющая тока конденсатора совпадают по фазе (см. рис. 3.36), и поэтому величина активной составляющей тока источника рассчитывается по выражению

Реактивная составляющая тока катушки и реактивная составляющая тока конденсатора сдвинуты по фазе во времени на 180 градусов. Вследствие этого величина реактивной составляющей тока источника электрической энергии равна разности реактивных составляющих тока катушки и конденсатора:

В режиме резонанса токов эквивалентная реактивная проводимость электрической цепи равна нулю, так как b L 1 = b C 2 . Следовательно, реактивная составляющая тока источника электрической энергии I р также равна нулю. Источник в режиме резо-

нанса токов вырабатывает ток, величина которого равна сумме активных составляющих токов ветвей и является минимальной.

Главная > Книги > Электроника

2.8. Параллельное соединение R, L, С

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.18), приложено гармоническое напряжение u = Umcosωt , то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = iR + iL + iC .

Ток iR в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и , ток iL в индуктивности L отстает, а ток iC в емкости С опережает напряжение на π /2 (рисунок 2.19).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен

(2.20)

Уравнение (2.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина называется реактивной проводимостью цепи , которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b активная проводимость g = l/R всегда положительна.

Для нахождения Im и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.20) (рисунок 2.20, а и б). Прямоугольный треугольник с катетами IR и и гипотенузой I называется треугольником токов. Треугольник токов построен на рисунке 2.20, а для b >0 , а на рисунке 2.20, б − для b < 0 .

Из треугольника токов следует, что или I = yU; Im=yUm

Здесь (2.21)

полная проводимость рассматриваемой параллельной цепи.

Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

. (2.22)

Если задано напряжение и = Umcos(ωt + y) на зажимах цепи с параллельно соединенными R, L и С , то ток определяется по формуле

i = yUmcos(ωt + y - φ ) .

Угол φ , как и в предыдущем случае, отсчитывается на временной диаграмме ωt от напряжения к току, а на векторной диаграмме - от тока к напряжению; он является острым или прямым углом

|φ | .

Угол φ положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при b > 0 ; при этом ток отстает по.фазе от напряжения. Угол φ отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при b < 0 ; при этом ток опережает по фазе напряжение. Ток совпадает с напряжением по фазе при b = bR - bC = 0 , т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (2.21) и (2.22) следует, что активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

g = ycosφ ; b = уsinφ . (2.23)

Умножив правые и левые части выражений (2.23) на действующее значение напряжения U , получим действующие значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями изображаемые катетами треугольника токов и называемые активной и реактивной составляющими тока:

Ia = gU = ycosφ U = Icosφ ;

Ip = bU = ysinφ U = Isinφ .

Как видно из треугольников токов и уравнений (2.24), активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

.

Разделив стороны треугольника токов на U , получим прямоугольный треугольник проводимостей, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.21, а, б ).

Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией уравнений (2.21) и (2.22); активная проводимость g откладывается по горизонтальной оси вправо, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается вниз (b > 0) или вверх (b < 0) .

Угол φ в треугольнике проводимостей отсчитывается, от гипотенузы у к катету g , что соответствует отсчету φ в треугольнике токов от I = yU к Ia = gU .

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с емкостной и активной проводимостями, применяется понятие добротность конденсатора QC = b/g = ωCR , которое равнозначно тангенсу угла |φ | конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора tgδ = l/QC (угол диэлектрических потерь δ дополняет угол |φ | до 90°).

Чем больше сопротивление R , тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов для разных частот и диэлектриков колеблется в широких пределах, примерно от 100 до 5000. Слюдяные конденсаторы обладают большей добротностью, чем керамические. Добротность конденсаторов, применяемых в высокочастотной технике, примерно в 10 раз превышает добротность индуктивных катушек.

Ответ: R=r o ·l, где r o – погонное активное сопротивление (Ом/км). Активное сопротивление воздушных и кабельных линий, определяется материалом токоведущих проводников и их сечения. В какой-то степени оно зависит от температуры проводников и частоты протекающего по ним переменного тока. Однако это влияние мало, и при расчетах электрических сетей его обычно не учитывают. Поэтому значения сопротивления r 0 для каждой марки провода или кабеля, как правило, принимают по таблицам, соответствующим передаче постоянного тока и температуре +20ºС. r 0 t = r 0 20 ·(1+α(t-20)), где α-температурный коэффициент; r 0 20 –сопротивление при 20 ºС. При оценочных расчетах для проводников из цветных металлов активное сопротивление может быть определено по формуле: r 0 =ρ/F, где ρ-удельное сопротивление(Ом·мм 2 /км), F-сечение проводника(мм 2).

G=g 0 ·l, где g 0 - удельная активная проводимость (См/км). Проводимость, обусловленная потерями на корону, величина сильно переменная и зависит от влажности воздуха и других метеорологических условий. Усредненное значение активной проводимости за год получают через средние потери на корону ΔP к: ; , где ΔP куд - удельные среднегодовые потери на корону (кВт/км).

Потери мощности на корону учитывают для ВЛ с Uном 330кВ и выше. В ВЛ 110-220кВ эти потери можно не учитывать, т.к. ПУЭ установлены минимальные сечения проводов, для снижения ΔP к до приемлемых уровней. Для ВЛ 110кВ – АС 70/11, ВЛ 220кВ – АС 240/32.

Наиболее радикальным средством снижения потерь мощности на корону является увеличение диаметра провода. X=x 0 ·l, где x 0 , – погонное индуктивное сопротивление (Ом/км).

Индуктивное сопротивление обусловлено магнитным полем, возникающем вокруг и внутри проводов и жил кабелей, которое наводит в каждом проводнике электродвижущую силу самоиндукции. Индуктивное сопротивление зависит от взаимного расположения проводников, их диаметра и магнитной проницаемости и частоты переменного тока. Для воздушных линий с алюминиевыми и сталеалюминевыми проводами сопротивление на 1 км рассчитывается: x 0 =0,144·lg(2·D ср /d)+0,0156, где Dср - среднегеометрическое расстояние между проводами фаз, мм, d – диаметр провода, мм.

D ср зависит от вида расположения опор и U ном D ср = , где D А B , D BC , D CA - расстояние между проводами соответствующих фаз.

Для воздушных линий значение x 0 приводятся в справочной таблице в зависимости от D ср или напряжения и марки провода. На индуктивное сопротивление кабельных линий оказывают влияние конструктивные особенности кабелей. При расчетах пользуются заводскими данными об x 0 , приводимыми в справочнике. Реактивная проводимость линии обусловлена емкостями между проводами разных фаз и емкостью провод-земля. Ее определяют по формуле: , B=b 0 ·l, где b 0 - удельная реактивная (емкостная) проводимость, Ом/км. Для воздушных линий удельная емкостная прово­димость может быть найдена как или определена по справочным таблицам в зависимо­сти от марки провода и среднегеометрического рассто­яния между проводами или ном. напряже­ния. Ёмкостная проводимость кабельных линий зависит от конструкции кабеля и указывается заводом-изгото­вителем, но для ориентировочных расчетов она может быть оценена по формуле. Очевидно, что величи­на b 0 для кабельных линий значительно больше, чем для воздушных из-за меньших значений Dср.