Эволюционный процесс математически описывается векторным полем в фазовом пространстве (абстрактном пространстве с числом измерений, равном числу переменных, характеризующих состояние системы). Точка фазового пространства задает состояние системы. Приложенный в этой точке вектор указывает скорость изменения состояния. В случае затухания фазовые траектории при любых начальных значениях оканчиваются в одной точке, которая соответствует покою. В таких точках вектор может обращаться в нуль. Такие точки называются положениями равновесия (состояние не меняется с течением времени). Фазовые траектории создают складки внутри фазового пространства.

Область фазового пространства, заполненного хаотическими траекториями, называется странными аттракторами .

Важнейшим свойством странных аттракторов является фрактальность. Фракталы – это объекты, проявляющие по мере увеличения все более число деталей. Хаос порождает фракталы, а фазовая траектория фракталов обладает самоподобием , т.е. при выделении двух близких точек на фазовой траектории фрактала и последующем увеличении масштаба траектория между этими точками окажется столь хаотичной, как и вся в целом. Введение фрактальных множеств позволяет объяснить и предсказать многие явления в самых различных областях.

Математические образы теории катастроф реализуются в волновых полях. Геометрическое место точек, в которых происходит фокусировка волнового поля, называется в оптике каустиками. При пересечении каустик происходит скачкообразное изменение состояния системы. Момент перехода определяется свойствами системы и уровнем флуктуации в ней. При переходе выделяют два принципа: принцип максимального промедления, определяемый существованием устойчивого уровня, и принципом Максвелла, определяющий состояние системы глобальным минимумом.

Последовательность бифуркаций, возникающая при углублении неравновесности в системе, меняется, и процесс пойдет по разным сценариям (например, переход от ламинарного течения к турбулентному).

После прохождения параметра через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла, или мягкому возникновению автоколебаний, система остается в окрестности неустойчивого состояния некоторое время, за которое параметр меняется на конечную величину. После этого система скачком переходит в момент бифуркации в автоколебательный режим (уже ставший жестким).

На рис.4 изображен фазовый портрет системы, описывающей взаимоотношение хищника и жертвы (скажем, щук и карасей). Фазовое пространство – положительный квадрант плоскости. По оси абсцисс отложено число карасей, по оси ординат – щук. Точка Р – положение равновесия. Точка А соответствует равновесному количеству карасей при 16 количестве щук, меньшем равновесного. Видно, что с течением времени в системе устанавливаются колебания; равновесное состояние рис. Неустойчиво. Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости . Эта кривая называется предельным циклом.

В окрестности точки, не являющейся положением равновесия, разбиение фазового пространства на фазовые кривые устроено так же, как разбиение на параллельные прямые: семейство фазовых кривых можно превратить в семейство параллельных прямых заменой координат. В окрестности положения равновесия картина сложнее.

Рис.4. Фазовый портрет эволюции системы «хищник–жертва»

Системы, описывающие реальные эволюционные процессы, как правило, общего положения. Действительно, такая система всегда зависит от параметров, которые никогда не бывают известны точно.

Управление без обратной связи всегда приводит к катастрофам: важно, чтобы лица и организации, принимающие ответственные решения, лично, материально зависели от последствий этих решений.

Трудность проблемы перестройки связана с ее нелинейностью. Привычные методы управления, при которых результаты пропорциональны усилиям, тут не действуют, и нужно вырабатывать специфически нелинейную интуицию, основанную на порой парадоксальных выводах нелинейной теории.

Вот некоторые качественные простейшие выводы из математической теория перестроек применительно к нелинейной системе, находящейся в установившемся устойчивом состоянии, признанном, плохим, поскольку в пределах видимости имеется лучшее, предпочтительное устойчивое состояние системы.

1. Постепенное движение в сторону лучшего состояния сразу же приводит к ухудшению. Скорость ухудшения при равномерном движении к лучшему состоянию увеличивается.

2. По мере движения от худшего состояния к лучшему сопротивление системы изменению ее состояния растет.

3. Максимум сопротивления достигается раньше, чем самое плохое состояние, через которое нужно пройти для достижения лучшего состояния. После прохождения максимума сопротивления состояния продолжает ухудшаться.

4. По мере приближения к самому плохому состоянию на пути перестройки сопротивление, начиная с некоторого момента, начинает уменьшаться, и как только самое плохое состояние пройдено, не только полностью исчезает сопротивление, а система начинает притягиваться к лучшему состоянию.

5. Величина ухудшения, необходимого для перехода в лучшее состояние, сравнима с финальным улучшением и увеличивается по мере совершенствования системы. Слабо развитая система может перейти в лучшее состояние почти без предварительного ухудшения, в то время как развитая система, в силу своей устойчивости, на такое постепенное, непрерывное улучшение неспособна,

6. Если систему удается сразу, скачком, а не непрерывно, перевести из плохого устойчивого состояния достаточно близко к хорошему, то дальше она сама собой будет эволюционировать в сторону хорошего состояния.

Без математической теории перестроек сознательное управление сложными и плохо известными нелинейными системами практически невозможно. Не требуется, однако, специальной математической теории, чтобы понять, что пренебрежение законами природы и общества (будь то закон тяготения, закон стоимости или необходимость обратной связи), падение компетентности специалистов и отсутствие личной ответственности за принимаемые решения приводит рано или поздно к катастрофе.

Теория бифуркаций проявляется повсеместно в естествознании. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, не известны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведении его решении может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо определить, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров

Весьма важным и продуктивным понятием естествознания является понятие динамической системы. Под динамической системой понимают математическую модель того или иного реального процесса, обладающую следующими свойствами. Во-первых, должен быть известен некоторый набор величин, который однозначно задает состояние системы. Во-вторых, должен быть известен закон, по которому можно однозначно определить состояние системы в любой момент времени, если известно ее начальное состояние. Это понятие является очень широким и поэтому примеры динамических систем можно найти практически во всех областях физики, биологии, химии и т.д.

Поведение динамической системы, в частности, установившиеся с течением времени режимы, могут зависеть от некоторых параметров. Оказывается, что при медленном изменении параметра могут происходить качественные перестройки установившихся режимов. Изучение таких перестроек при вариации параметров в динамических системах (причем, не только в отображениях, но и в дифференциальных уравнениях) составляет предмет теории бифуркаций. Она выявляет типичные бифуркации, изучает и классифицирует их. Теория бифуркаций является математической наукой.

Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляет как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любо системе: динамической, экологической и т. д. Статья посвящена бифуркациям нелинейных динамических систем.

Часто при моделировании физических процессов часть переменных, изменения которых незначительны в рамках моделируемых процессов, принимают константами. В результате получается система более низкого порядка, чем исходная, но учесть влияние изменения членов, принятых за постоянные, становится невозможно. В этом случае члены можно рассматривать, как возмущения и описывать модель средствами теории бифуркаций.

Бифуркации допускают определенную классификацию. Во-первых, по минимальной величине размерности системы, для которой возможна данная бифуркация. А, во-вторых, по минимальному количеству параметров, необходимых для данного типа перестройки.

1. Понятие бифуркации

Бифуркации имеют фундаментальное значение при исследовании поведения динамических систем. Часто именно бифуркации определяют механизм возникновения многих сложных процессов. Остановимся на некоторых основных положениях теории бифуркации.

Пусть нелинейная модель автономной системы, представленная ДУ

\begin{equation} {dx \over dt} = F(x,\lambda) \end{equation}

характеризуется изменением параметра \(\lambda\). В реальной системе таким параметром может быть температура, давление, концентрация, коэффициент роста популяции и т. д. Следует подчеркнуть, что изучению подлежит не конкретная модель с фиксированным параметром, а семейство динамических моделей, поведение которых зависит от \(\lambda\).

При некотором значении параметра, называемым критическим значением, процессы в системе претерпевают качественное изменение. В этом случае структура (топология) разбиения фазового пространства (фазовой плоскости при размерности 2) на траектории также качественно изменяется. Такое свойство нелинейной системы принято называть бифуркацией (от латинского слова bifurcus – раздвоенный), а варьируемый параметр \(\lambda\), при котором наблюдается бифуркация – бифуркационным параметром.

Более строго, бифуркационным (критическим) значением параметра \(\lambda\) называется такое его значение, при котором динамическая система становится негрубой (структурно-неустойчивой).

Понятие грубости динамической системы было введено А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным. Динамическая система, представленная ДУ следующего вида

\[{dx_i \over dt} = F(x), x = 1, …, n \]

называется грубой в области \(G \subset {{\bf{R}}^n}\), если для любого \(\varepsilon > 0\) можно указать такое \(\delta > 0\), что при произвольных аналитических функциях \({Q_i}({x_1},\; \ldots ,\;{x_n}) = {Q_i}({\bf{x}})\) изменённой (другими словами – возмущённой) системы

\[\frac{{d{x_i}}}{{dt}} = {F_i}({\bf{x}}) + {Q_i}({\bf{x}}),i = 1,\; \ldots ,\;n\]

удовлетворяющих неравенству

\[\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {\left| {{Q_i}({\bf{x}})} \right| + \sum\limits_{j = 1}^n {\left| {\frac{{\partial {Q_i}({\bf{x}})}}{{\partial {x_j}}}} \right|} } \right] < \delta } \]

существует такое взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение области в себя, при котором каждая траектория исходной (невозмущённой) системы отображается в соответствующую траекторию системы и обратно. При этом соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии, меньшем \(\varepsilon \). Другими словами, грубыми являются такие динамические системы, у которых качественная структура фазовых траекторий не меняется при произвольном малом изменении правых частей исходного ДУ.

Для грубых динамических систем второго порядка выполняются следующие условия:

1. в области \(G \subset {{\bf{R}}^2} \)могут располагаться только простые особые точки (состояния равновесия) типа «узел», «фокус», «седло», т. е. такие, для которых действительные части корней характеристического уравнения линеаризованной системы отличны от нуля. Такие особые точки (их конечное число) называются грубыми;
2. в области \(G\) могут располагаться только простые предельные циклы, число которых конечно;
3. в области \(G\) отсутствуют сепаратрисы, идущие из седла в седло. Возможно существование сепаратрис сёдел, в одну сторону стремящиеся к узлу, фокусу, предельному циклу или при некотором значении \(t\) выходящие из области \(G\).

При нарушении этих условий динамическая система становится негрубой.

В соответствии с теорией бифуркаций в пространстве координат и параметра из точки бифуркации могут исходить несколько ветвей решения уравнения равновесия

\[{\bf{0}} = {\bf{F}}({\bf{x}},\;\lambda)\]

как устойчивых, так и неустойчивых. Графики зависимости координат положений равновесия от \(\lambda\) представляют собой бифуркационные диаграммы.

Простейшим примером бифуркации может служить следующая система

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda x\]

которая имеет решение \(x(t) = {x_0}{e^{\lambda t}}\), определяющее экспоненциальный рост (убывание), если \(\lambda > 0(\lambda < 0)\) соответственно. Заметим, что приведенное выше уравнение определяет динамику цепной реакции \(\lambda > 0\) и распада ядра \(\lambda < 0\). Единственное состояние равновесия уравнения \(x = 0\) устойчиво при \(\lambda < 0\) и неустойчиво при \(\lambda > 0\).

Рис. 1.1 - Временная характеристика системы при различных значениях бифуркационного параметра

2. Классификация

Бифуркации принято классифицировать по числу нарушений условий гиперболичности собственных значений матрицы

\[{\bf{J}}({\bf{x}},\;{\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m}) = \left\| {\frac{{\partial {F_i}({\bf{x}},\;{\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m})}}{{\partial {x_j}}}} \right\|\]

Неподвижная точка называется гиперболической, если матрица Якоби \({\bf{J}}\), определённая в ней, не содержит собственных значений \({s_k} \) с нулевой действительной частью, т. е. \({\rm{Re}}\,{s_k} \ne 0\).

При рассмотрении многопараметрического пространства \(\Lambda \) точка этого пространства (\(\lambda \in \Lambda \)), в которой происходит качественное изменение поведения динамической системы, именуется точкой бифуркации. Для пространства \(\Lambda \) характерна задача определения числа параметров \(\{ {\lambda _q}\} \), которые должны присутствовать в модели для того, чтобы данная бифуркация относилась к типичной.

Собственные значения \({s_k} \) матрицы \({\bf{J}}\) представляют собой функции от параметров, т. е. \({s_k}({\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m})\). Тогда условия нарушения гиперболичности вида \({\rm{Re}}\,{s_k} = 0\) определяются системой уравнений, составленных относительно параметров. Например, для того, чтобы два действительных собственных значения одновременно обратились в ноль, необходимо найти решение системы двух уравнений относительно неизвестных

\[\begin{array}{l}
{s_1}({\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m}) = 0\\
{s_2}({\lambda _1},\; \ldots ,\;{\lambda _m}) = 0
\end{array}\]

При этом возможны следующие типичные ситуации:

• если \(m = 1 \) , то решение в общем случае отсутствует; бифуркация не обнаруживается;
• если \(m = 2 \), то возможно решение; бифуркация может произойти в одной или нескольких точках \(\Lambda \);
• если \(m > 2 \), то в типичных случаях негиперболические точки будут располагаться на поверхности размерности \(m — 2 \) в \(\Lambda \) , т. е. могут образовываться поверхности бифуркации.

В общем случае, если необходимо удовлетворить \(k \) условиям нарушения гиперболичности, то возможные точки бифуркации будут располагаться на \((m — k)\) -мерной поверхности. Величину \(k \), определяющую количество условий нарушения гиперболичности, называют коразмерностью бифуркации. Разность между размерностью пространства и размерностью поверхности бифуркации представляет собой коразмерность поверхности.

Коразмерность бифуркации показывает, каким числом параметров должна определяться динамическая система, чтобы наблюдаемая в ней бифуркация была типичная. Другими словами, коразмерность бифуркации – наименьшая размерность пространства \(\Lambda \), в котором возможна бифуркация соответствующего типа. В дальнейшем для простоты понимания основных положений теории бифуркаций целесообразно ограничиться рассмотрением бифуркаций коразмерности 1, которые наблюдаются в однопараметрических системах. С бифуркациями более высокого порядка можно ознакомиться в специальной литературе.

Изучение распространённых типов бифуркаций производится на моделях первого и второго порядков, представленных определёнными ДУ. При этом в линеаризованных моделях возникает одно нулевое или два мнимых собственных значений матрицы Якоби.

2.1 Бифуркации в системах с простым движением

Негрубость системы означает негрубость тех или иных траекторий. Среди таких траекторий прежде всего выделяются устойчивые состояния равновесия и периодические движения, поскольку они являются математическим образом стационарных состояний и автоколебаний.

Состояние равновесия n-мерной системы \(\mathop x\limits^. = X(x)\) точка \(M({x^*})\), где \({x^*}\) — решение системы \(X(x) = 0\). Оно негрубое, если среди \({\lambda _{1,}}{\lambda _2}, …{\lambda _n}\) — корней характеристического уравнения \(\det (\frac{{\partial X({x^*})}}{{\partial x}} — \lambda E) = 0\) имеются корни, лежащие на мнимой оси. В случае, если \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0,i = 1,…n \), состояние равновесия является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то состояние равновесия носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при \(t \to + \infty \), так и при \(t \to — \infty \) , в совокупности образуя устойчивое \({W^s}\) и неустойчивое \({W^u}\) многообразия. Периодическое решение \(x = \phi (t) \) этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов \({\rho _1},{\rho _2},…{\rho _{n — 1}}\) имеются равные по модулю 1. Если же \(\left| {{\rho _i}} \right| < 1\), периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

В настоящее время основные (коразмерности 1) локальные и глобальные бифуркации таких траекторий подробно изучены.

Устойчивое состояние равновесия может:

1. исчезнуть, слившись с неустойчивым. В момент бифуркации у состояния равновесия, называемого седло-узел, только один характеристический корень лежит на мнимой оси и равен нулю.
2. потерять устойчивость. При этом из состояния равновесия будет рождаться (влипать в него) устойчивое (неустойчивое) периодическое движение, если в момент бифуркации состояние равновесия устойчиво (неустойчиво). Эта бифуркация, объясняющая генерацию колебаний, носит название Андронова-Хопфа.

Устойчивое периодическое движение может:

• исчезнуть, слившись с неустойчивым в момент бифуркации. Для \(n > 2\) негрубое периодическое движение носит название седло-узлового.
• потерять устойчивость с рождением устойчивого
  • периодического движения удвоенного периода, если мультипликатор равен (-1),
  • двумерного инвариантного тора, если \({\rho _{1,2}} = {e^{ \pm i\phi }}\), где \(\phi \ne 0,\pi ,\frac{\pi }{2},\frac{{2\pi }}{3}\).

Устойчивые периодические движения могут также рождаться в результате следующих глобальных бифуркаций:

1. из траектории, идущей из седла с характеристическими корнями \({\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} < 0\), \(i=1, … ,n-1\), и седловой величиной \(\max {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} + {\lambda _n} < 0\) в то же седло,
2. из траектории, идущей из седло-узла в него при исчезновении состояния равновесия,
3. при исчезновении седло-узлового периодического движения, все траектории неустойчивого многообразия которого, образуют в совокупности сильно сжимающуюся трубку, навивающуюся на периодическое движение. Эта бифуркация называется «катастрофой голубого неба» и ее особенность состоит в том, что при стремлении параметра к бифуркационному значению длина периодических движений стремится к бесконечности.

В случае коразмерности 1 седловые периодические движения могут рождаться из траектории, идущей 1) из седла в него же, 2) из негрубого состояния равновесия типа седло-седло в него же при его исчезновении (такое состояние равновесия образуется при слиянии двух грубых седел.)

Все перечисленные бифуркации не выводят из класса систем с простым поведением траекторий.

2.2 Бифуркации в системах со сложным движением

Основным признаком системы со сложным поведением траекторий является существование грубого предельного множества, состоящего из траекторий седлового типа, в котором всюду плотны постоянные движения и есть всюду плотная траектория. Такие множества называются гиперболическими. Наиболее универсальный критерий существования таких множеств связан с гомоклинической орбитой Пуанкаре - двояко асимптотической траекторией к седловому постоянному движению, по которой его устойчивое и неустойчивое многообразия пересекаются без касания. Наличие такой структуры гарантирует существование в любой ее малой окрестности одномерного гиперболического множества, но неустойчивого. По этой причине бифуркации, связанные с появлением или исчезновением гиперболического множества, получили общее название гомоклинических. Другим типичным случаем систем со сложным поведением траекторий являются системы с гомоклиническими петлями седло-фокуса с положительной седловой величиной. Гомоклинические бифуркации подразделяются на два типа: граничные, объясняющие переходы от простой динамики к сложной, и внутренние. Характерным примером бифуркации 1-го типа, показывающим, что системы с простой и сложной динамикой могут быть разделены бифуркационной поверхностью, является бифуркацией исчезновения состояния равновесия типа седло-седло с не менее, чем двумя двояко асимптотическими траекториями, а также ряд бифуркаций систем с негрубой гомоклинической траекторией Пуанкаре. Однако такому переходу может предшествовать бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода Шарковского-Фейгенбаума. Отметим также задачу о разрушении тора в связи с проблемой синхронизации.

В случае внутренних бифуркаций одной из основных задач является выделение в пространстве динамических систем областей негрубых систем. Впервые на это необычное явление было указано Смейлом в начале 60-х годов. Но наибольшую известность получили области Ньюхауса, в которых всюду плотны системы с негрубыми гомоклиническими траекториями Пуанкаре, имеющие постоянного движения любого порядка вырождения. Из этого следует вывод - для нелинейной динамики: полный качественный анализ моделей, допускающих негрубую гомоклиническую траекторию Пуанкаре, не реалистичен.

С открытием динамического хаоса в теории бифуркаций открылась новая глава, связанная с теорией странных аттракторов – притягивающих предельных множеств с неустойчивым поведением траекторий. В отличие, например, от постоянных движений, странные аттракторы не имеют унифицированной природы: они могут быть как многообразием (гладким или негладким), так и множествами с весьма сложной теоретико-множественной структурой. Исходя из интересов нелинейной динамики, от странных аттракторов требуется, чтобы они сохраняли свои свойства при малых возмущениях системы. Естественно, это так для гиперболических аттракторов. Но анализ ряда моделей показал, что таковыми могут быть и негрубые аттракторы. Характерным примером является странный аттрактор модели Лоренца \(\mathop x\limits^. = — \sigma (x — y),\mathop y\limits^. = — y + rx — xz,\mathop z\limits^. = — bz + xy\), негрубость которого обусловлена тем, что состояние равновесия типа седло принадлежит странному аттрактору. В размерности n>3 могут быть негрубые аттракторы, содержащие седло-фокус. Поскольку последние допускают гомоклинические касания, их (по выше приведенным причинам) принято называть «дикими». Понятно, что изучение бифуркаций, приводящих к возникновению странных аттракторов, стало одной из актуальных задач. Исторически эта проблема возникла в гидродинамике в связи с объяснением возникновения турбулентности. Именно в этой связи в 40-х годах Ландау и Хопф предложили такое объяснение на примере каскада бифуркаций торов с повышением их размерности. Гидродинамическое происхождение имеет и модель Лоренца. Здесь переход от простой динамики к странному аттрактору происходит в результате двух гомоклинических бифуркаций: граничной бифуркации гомоклинической восьмерки-бабочки седла, в результате которой рождается неустойчивое одномерное гиперболическое множество, и внутренней бифуркацией гомоклинического контура в момент, когда обе траектории, выходящие из седла, впервые устремятся к седловым постоянным движением, появившимся в результате граничной бифуркации. Однако такой, сравнительно простой сценарий, обусловлен тем, что модель Лоренца обладает симметрией \((— x, — y) \to (x,y)\). Отметим также следующий результат, имеющий пока чисто математическое значение, — ряд гиперболических аттракторов (соленоид Смейла-Вильямса, аносовский тор), могут рождаться в результате глобальных бифуркаций, связанных с исчезновением седло-узловых постоянных движенй и торов. Помимо странных аттракторов во многих прикладных исследованиях встречаются предельные множества, которые можно назвать квазиаттракторами, поскольку в них, кроме гиперболических множеств, содержатся устойчивые постоянные движения, причем даже в счетном множестве. Подобная ситуация возникает, например, в трехмерных системах с отрицательной дивергенцией. В компьютерных исследованиях динамика модели в областях Ньюхауса может вполне ассоциироваться с хаотическим поведением траекторий, поскольку п.д. могут иметь весьма большие периоды и узкие области притяжения.

3. Мягкая и жесткая потеря устойчивости

3.1 Понятие мягкой и жесткой потери устойчивости

Бифуркации условно можно разделить на мягкие и жёсткие, что наглядно демонстрируется следующим примером. На рис. 3.1 и рис. 3.2 изображён перестраиваемый профиль с шариком. В результате изменения какого-либо фактора (параметра), исходный профиль изменяет свою конфигурацию таким образом, что устойчивое равновесное состояние шарика теряется. При этом «рождаются» два новых устойчивых состояния равновесия, в один из которых и сваливается шарик. Вновь появившиеся состояния равновесия перестроившегося профиля располагаются в непосредственной близости от начального состояния равновесия, которое потеряло устойчивость. Бифуркации такого типа называют мягкими. Новый режим функционирования как бы постепенно появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Рис. 3.1 - перестраиваемый профиль с шариком

Характер перестроения профиля, изображённого на рис. 3.2, иной. Для значения параметра меньше критического шарик находится в устойчивом равновесном состоянии. Одновременно существует ещё одно потенциальное неустойчивое равновесное состояние. При перестроении профиля для критического значения параметра устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они оба исчезают, и система «скачком» выбирает новый режим, который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Бифуркации такого типа относятся к жёстким. Именно жёсткие (скачкообразные) бифуркации в первую очередь являются предметом исследования теории катастроф.

Рис. 3.2 - перестраиваемый профиль с шариком

4. Виды бифуркаций

В следующем разделе будут описаны основные виды и примеры бифуркаций как непрерывных, так и дискретных (отражений) функций.

4.1 Касательная (седло-узловая) бифуркация

Пример седло-узловой бифуркации рассмотрим на примере системы, описываемой д.у.:

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda — {x^2}\]

где \(\lambda \) - варьируемый параметр. Равновесные решения \(x_{{\rm{1}}{\rm{,2}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) уравнения определены только для \(\lambda \ge 0\); при \(\lambda < 0\) равновесные состояния отсутствуют. Значение \(\lambda = 0\) является бифуркационным. На рис. 4.2 изображена соответствующая бифуркационная диаграмма. Как видно из рисунка, из точки бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\) выходят две ветви равновесных состояний, одна из которых устойчивая, а вторая - неустойчивая. При варьировании параметра в сторону увеличения значений из «ничего» рождаются два состояния равновесия, одно из которых устойчиво. Бифуркации такого рода относят к типу «седло-узел».

Рис. 4.1 - Временная характеристика системы с касательной (седло-узловой) бифуркацией

Рис 4.2 - Диаграмма касательной (седло-узловой) бифуркации

4.2 Транскритическая бифуркация (бифуркация типа «обмен устойчивости»)

Бифуркацию типа «обмен устойчивости» продемонстрируем на системе

\[\frac{{dx}}{{dt}} = x\lambda — {x^2}\]

Уравнение имеет два равновесных решения: \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_2^{\rm{}} = \lambda \). Первое решение устойчиво при и неустойчиво при; второе – устойчиво при \(\lambda < 0\) и неустойчиво при \(\lambda > 0\). Принято говорить, что оба решения «обмениваются устойчивостью» в точке бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\). На рис. 4.3, представлены соответствующие графики функций.

Рис. 4.3 - Временная характеристика системы с транскритической бифуркацией

Рис. 4.4 - Диаграмма транскритической бифуркации

4.3 Бифуркация «вилка»

Бифуркация типа «вилка» описывается ДУ вида

\[\frac{{dx}}{{dt}} = \lambda x — {x^3}\]

Это уравнение имеет одно равновесное решение \(x_1^{\rm{}} = 0 \) при \(\lambda < 0\) и три равновесных решения \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_{{\rm{2}}{\rm{,3}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda > 0\). Соответствующие графики функций (рис. 4.6) симметричны относительно оси \(x\). В данном случае из точки бифуркации выходят три ветви равновесных состояний: две устойчивые и одна неустойчивая.

Рис. 4.5 - Временная характеристика системы с бифуркацией «Вилка»

Рис. 4.4 - Диаграмма бифуркации «Вилка»

Бифуркация типа «вилка» широко рассматривается в теоретической физике, поскольку на ней основываются некоторые теории, объясняющие спонтанное нарушение симметрии (устойчивая равновесная точка \(x_1^{\rm{}} = 0 \) при \(\lambda < 0\) отвечает симметричному состоянию, например, отсутствию намагниченности, а рождающиеся устойчивые точки равновесия \({x^{\rm{}}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda > 0\) – состоянию с нарушенной симметрией). В частности, на этой бифуркации основана теория переходов II рода, предложенная Л. Д. Ландау. В ней чаще всего роль параметра \(\lambda\) играет отклонение температуры от критического значения, а величина \(x\) носит название «параметр порядка».
Рассмотренные бифуркации называются суперкритическими или нормальными. Их особенность заключается в том, что нелинейные члены \({x^2}\) и \({x^3}\) соответствующих уравнений оказывают влияние, способствующее получению устойчивых равновесных состояний системы. Однако при изменении знаков перед нелинейными членами, последние будут оказывать уже дестабилизирующее влияние на систему. В этих случаях возникают субкритические или обратные бифуркации.

4.4 Бифуркация Андронова – Хопфа (Hopf)

Кроме бифуркаций состояний равновесия в динамических системах при изменении параметра может происходить ещё одна перестройка структуры фазового портрета. Этот тип бифуркации рассматривает рождение предельного цикла из неподвижной точки и является более сложным, чем представленные выше.
Пусть нелинейная модель описывается следующим д. у.:

\[\frac{{dz}}{{dt}} = (\mu + j\eta)z — z{\left| z \right|^2}\]

где \(z \) – комплексная переменная; \(\mu + j\eta \) – комплексный параметр, причём \(j \) – мнимая единица, \(\mu \) – варьируемый бифуркационный параметр.

Уравнение представляет собой комплексный аналог бифуркации типа «вилка». С целью определения всех равновесных решений необходимо произвести замену комплексной переменной \(z \):

где \({x_1}\) и \({x_2}\) новые вещественные переменные.

В результате подстановки \(z \) в исходное ДУ получается система из двух уравнений первого порядка:

\[\begin{array}{l}
{{\dot x}_1} = [\mu — (x_1^2 + x_2^2)]{x_1} — \eta {x_2}\\
{{\dot x}_2} = [\mu — (x_1^2 + x_2^2)]{x_2} + \eta {x_1}
\end{array}\]

Таким образом, здесь осуществлён переход к модели второго порядка с вещественными параметрами. Полученные уравнения связаны между собой через комплексную переменную \(z \) и имеют следующие два стационарных решения:

\[{x_1} = {x_2} = 0 \ при \ z = 0 \\
x_1^2 + x_2^2 = {\left| z \right|^2} = \mu \ при \ z \ne 0\]

Первое решение является неустойчивым и совпадает с точкой бифуркации, а второе решение определяет окружность радиуса \(\sqrt \mu\) в пространстве координат \(({x_1},\;{x_2},\;\mu)\). На рис. 4.5 изображены фазовые траектории при фиксированных \(\mu \).

Рис. 4.5 - Фазовый портрет системы с бифуркацией Андронова – Хопфа

4.5 Бифуркации циклов

Образование в динамических системах второго порядка предельных циклов – соответствует бифуркации Андронова–Хопфа. Так, для модели, представленной системой ДУ

\[\begin{array}{l}
\frac{{d{x_1}}}{{dt}} = {x_2} — {x_1}(x_1^2 + x_2^2 — \lambda)\\
\frac{{d{x_2}}}{{dt}} = — {x_1} — {x_2}(x_1^2 + x_2^2 — \lambda)
\end{array}\]

точка \(\lambda = 0\) является бифуркационной точкой. При изменении \(\lambda \) с отрицательных значений на положительные от нулевого равновесного состояния \(({x_1} = 0,{x_2} = 0)\) ответвляется периодическая орбита \(x_1^2 + x_2^2 = \lambda \), соответствующая устойчивому предельному циклу. При этом происходит изменение характера особой точки: из устойчивой она становится неустойчивой (рис. 4.6).

Рис. 4.6 - Фазовый портрет системы с бифуркацией циклов

4.6 Бифуркация удвоения периода

Теперь рассмотрим бифуркации отражений. Одномерное отображение – это простейшая модель эволюционного процесса, когда состояние системы характеризуется единственной переменной, а время – дискретно. Примером может служить динамика численности биологической популяции, если наблюдение за ее численностью производится, например, один раз в год.

Простейшей моделью, описывающей бифуркацию удвоения периода, может служить логистическое отображение

\[{x_{n + 1}} = 1 — \lambda x_n^2\]

Его неподвижные точки ищутся из решения соответствующего квадратного уравнения #\({x_0} = 1 — \lambda x_0^2\), так что

\[{x_0} = \frac{{ — 1 \pm \sqrt {1 + 4\lambda } }}{{2\lambda }}\]

При \(\lambda = -0.25\) имеет место касательная бифуркация, в результате которой возникают неустойчивая и устойчивая точки.

Построим бифуркационную диаграмму (Рис. 4.7) с помощью команды математического пакета Maxima.

Обзор

Бифуркация - это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров.

Центральным понятием теории бифуркации является понятие (не)грубой системы (см. ниже). Берётся какая-либо динамическая система и рассматривается такое (много)параметрическое семейство динамических систем, что исходная система получается в качестве частного случая - при каком-либо одном значении параметра (параметров). Если при значении параметров, достаточно близких к данному, сохраняется качественная картина разбиения фазового пространства на траектории, то такая система называется грубой . В противном случае, если такой окрестности не существует, то система называется негрубой .

Таким образом в пространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины называется бифуркационной диаграммой .

Основные методы теории бифуркаций - это методы теории возмущений. В частности, применяется метод малого параметра (Понтрягина).

Бифуркация равновесий

В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров . Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями . Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями . Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.

Основные понятия

См. также

Литература

1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. М., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М .: Наука, 1967.
2. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. М .: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. 488 с. (Справочная математическая библиотека.)
3. Четаев Н. Г. Устойчивость движения. М .: Наука. 1955.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теория бифуркаций" в других словарях:

Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом (René Thom) и… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Теория катастроф (значения). Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких… … Википедия

Теория катастроф: Теория катастроф раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Катастрофизм (теория катастроф) система… … Википедия

Основная статья: Теория бифуркаций Каскад бифуркаций (Последовательность Фейгенбаума или сценарий удвоения периода) один из типичных сценариев перехода от порядка к хаосу, от простого периодического режима к сложному апериодическому при… … Википедия

Совокупность приложений теории особенностей дифференцируемых (гладких) отображений X. Уитни (Н. Whitney) и теории бифуркаций А. Пуанкаре (Н. Poincare) и А. А. Андронова. Назв. введено Р. Томом (R. Thorn) в 1972. К. т. применяется к геом. и физ.… … Физическая энциклопедия

БИФУРКАЦИЯ, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. 20 в., затем эта теория была развита А. А. Андроновым и учениками … Энциклопедический словарь

- (от греч. katastrophe поворот, переворот), 1) совокупность приложений теории особенностей гладких (дифференцируемых) отображений и теории бифуркаций. Поскольку гладкие отображения встречаются повсеместно, повсеместно встречаются и их особенности … Естествознание. Энциклопедический словарь

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Юдович. Виктор Иосифович Юдович Дата рождения: 4 октября 1934(1934 10 04) Место рождения: Тбилиси, СССР Дата смерти … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Ласточкин хвост. Ласточкин хвост (англ. swallow tail) нерегулярная поверхность в трёхмерном пространстве, определить которую можно несколькими эквивалентными способами. Рассмотрим… … Википедия

Основная статья: Теория бифуркаций Постоянная Фейгенбаума универсальная постоянная, характеризующая бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода при переходе к детерминированному хаосу (сценарий Фейгенбаума). Открыта Митчеллом… … Википедия

Эта публикация цитируется в (всего в 63 статьях)

Теория бифуркаций

Аннотация: Теория бифуркаций фазовых портретов дифференциальных уравнений вблизи положений равновесия и предельных циклов изложена в первых двух главах, Изложение начинается с основных понятий и фактов и заканчивается новыми результатами о бифуркациях в типичных однопараметрических семействах, происходящие на границе множества систем Морса-Смейла. Релаксационные колебания изучены с точки зрения теории особенностей и теории нормальных форм; включены результаты о затягивании потери устойчивости и решениях-утках.
Библ. 206.

Полный текст: PDF файл (31704 kB)

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.925 +517.928

Образец цитирования: В. И. Арнольд, В. С. Афраймович, Ю. С. Ильяшенко, Л. П. Шильников, “Теория бифуркаций”, Динамические системы - 5 , Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 5 , ВИНИТИ, М., 1986, 5-218

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{ArnAfrIly86}
\by В.~И.~Арнольд, В.~С.~Афраймович, Ю.~С.~Ильяшенко, Л.~П.~Шильников
\paper Теория бифуркаций
\inbook Динамические системы~--~5
\serial Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления
\yr 1986
\vol 5
\pages 5--218
\publ ВИНИТИ
\publaddr М.
\mathnet{http://mi.сайт/intf40}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=895653}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0797.58003}

Образцы ссылок на эту страницу:

http://mi.сайт/intf40

http://mi.сайт/rus/intf/v5/p5

ОТПРАВИТЬ:

Эта публикация цитируется в следующих статьяx:

1. Г. Р. Белицкий, “Гладкая эквивалентность ростков векторных полей с одним нулевым или парой чисто мнимых собственных значений”, Функц. анализ и его прил. , 20 :4 (1986), 1-8 ; G. R. Belitskii, “Smooth equivalence of germs of vector fields with a single zero eigenvalue or a pair of purely imaginary eigenvalues”, Funct. Anal. Appl. , 20 :4 (1986), 253-259
2. М. А. Шерешевский, “О хаусдорфовой размерности фрактальных базисных множеств, возникающих при некоторых глобальных бифуркациях потоков на трехмерных многообразиях”, УМН , 43 :3(261) (1988), 199-200 ; M. A. Shereshevskii, “On the Hausdorff dimension of fractal basis sets arising in certain global bifurcations of flows on three-dimensional manifolds”, Russian Math. Surveys , 43 :3 (1988), 223-224
3. А. В. Бабин, М. И. Вишик, “Спектральное и стабилизированное асимптотиче­ское поведение решений нелинейных эволюционных уравнений”, УМН , 43 :5(263) (1988), 99-132 ; A. V. Babin, M. I. Vishik, “Spectral and stabilized asymptotic behaviour of solutions of non-linear evolution equations”, Russian Math. Surveys , 43 :5 (1988), 121-164
4. Б. А. Хесин, “Версальные деформации пересечений инвариантных подмногообразий динамических систем”, УМН , 44 :3(267) (1989), 181-182 ; B. A. Khesin, “Versal deformations of intersections of invariant submanifolds of dynamical systems”, Russian Math. Surveys , 44 :3 (1989), 201-203
5. Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко, “Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей.”, УМН , 46 :1(277) (1991), 3-39 ; Yu. S. Ilyashenko, S. Yu. Yakovenko, “Finitely-smooth normal forms of local families of diffeomorphisms and vector fields”, Russian Math. Surveys , 46 :1 (1991), 1-43
6. И. Д. Чуешов, “Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики”, УМН , 48 :3(291) (1993), 135-162 ; I. D. Chueshov, “Global attractors for non-linear problems of mathematical physics”, Russian Math. Surveys , 48 :3 (1993), 133-161
7. Е. В. Николаев, “Бифуркации предельных циклов дифференциальных уравнений, допускающих инволютивную симметрию”, Матем. сб. , 186 :4 (1995), 143-160 ; E. V. Nikolaev, “Bifurcations of limit cycles of differential equations admitting an involutive symmetry”, Sb. Math. , 186 :4 (1995), 611-627
8. С. В. Гонченко, “Модули $\Omega$ -сопряженности двумерных диффеоморфизмов с негрубым гетероклиническим контуром”, Матем. сб. , 187 :9 (1996), 3-24 ; S. V. Gonchenko, “Moduli of $\Omega$ -conjugacy of two-dimensional diffeomorphisms with a structurally unstable heteroclinic contour”, Sb. Math. , 187 :9 (1996), 1261-1281
9. Д. В. Аносов, А. А. Болибрух, В. А. Васильев, А. М. Вершик, А. А. Гончар, М. Л. Громов, С. М. Гусейн-Заде, В. М. Закалюкин, Ю. С. Ильяшенко, В. В. Козлов, М. Л. Концевич, Ю. И. Манин, А. И. Нейштадт, С. П. Новиков, Ю. С. Осипов, М. Б. Севрюк, Я. Г. Синай, А. Н. Тюрин, Л. Д. Фаддеев, Б. А. Хесин, А. Г. Хованский, “Владимир Игоревич Арнольд (к шестидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 52 :5(317) (1997), 235-255 ; D. V. Anosov, A. A. Bolibrukh, V. A. Vassiliev, A. M. Vershik, A. A. Gonchar, M. L. Gromov, S. M. Gusein-Zade, V. M. Zakalyukin, Yu. S. Ilyashenko, V. V. Kozlov, M. L. Kontsevich, Yu. I. Manin, A. I. Neishtadt, S. P. Novikov, Yu. S. Osipov, M. B. Sevryuk, Ya. G. Sinai, A. N. Tyurin, L. D. Faddeev, B. A. Khesin, A. G. Khovanskii, “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 60th birthday)”, Russian Math. Surveys , 52 :5 (1997), 1117-1139
10. С. А. Вакуленко, П. В. Гордон, “Распространение и рассеяние кинков в неоднородной нелинейной среде”, ТМФ , 112 :3 (1997), 384-394 ; S. A. Vakulenko, P. V. Gordon, “Propagation and scattering of kinks in inhomogeneous nonlinear media”, Theoret. and Math. Phys. , 112 :3 (1997), 1104-1112
11. Е. А. Сатаев, “Производная Шварца для многомерных отображений и потоков”, Матем. сб. , 190 :1 (1999), 139-160 ; E. A. Sataev, “Schwartzian derivative for multidimensional maps and flows”, Sb. Math. , 190 :1 (1999), 143-164
12. Э. Э. Шноль, Е. В. Николаев, “О бифуркациях симметричных положений равновесия, отвечающих двукратным собственным значениям”, Матем. сб. , 190 :9 (1999), 127-150 ; È. È. Shnol", E. V. Nikolaev, “On the bifurcations of equilibria corresponding to double eigenvalues”, Sb. Math. , 190 :9 (1999), 1353-1376
13. Ю. Н. Бибиков, “Устойчивость и бифуркация при периодических возмущениях положения равновесия осциллятора с бесконечно большой или бесконечно малой частотой колебаний”, Матем. заметки , 65 :3 (1999), 323-335 ; Yu. N. Bibikov, “Stability and bifurcation under periodic perturbations of the equilibrium position of an oscillator with an infinitely large or infinitely small oscillation frequency”, Math. Notes , 65 :3 (1999), 269-279
14. Э. Э. Шноль, “Правильные многогранники и бифуркации симметричных положений равновесия обыкновенных дифференциальных уравнений”, Матем. сб. , 191 :8 (2000), 141-157 ; È. È. Shnol", “Regular polyhedra and bifurcations of symmetric equilibria of ordinary differential equations”, Sb. Math. , 191 :8 (2000), 1243-1258
15. С. В. Богатырев, “Циклы-утки в системе Льенарда”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 12 , СамГТУ, Самара, 2001, 36-39
16. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенных систем с одной или двумя медленными и быстрыми переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :4 (2002), 55-62
17. Е. П. Волокитин, С. А. Тресков, “Бифуркационная диаграмма кубической системы льенаровского типа”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 67-75
18. Е. А. Щепакина, “Условия безопасности воспламенения горючей жидкости в пористом изоляционном материале”, Сиб. журн. индустр. матем. , 5 :3 (2002), 162-169
19. М. Д. Новиков, Б. М. Павлов, “О некоторых простых потоковых системах с хаотическими режимами”, Матем. моделирование , 14 :11 (2002), 63-77
20. Е. А. Щепакина, “Притягивающе-отталкивающие интегральные поверхности в задачах горения”, Матем. моделирование , 14 :3 (2002), 30-42
21. О. Д. Аносова, “Инвариантные многообразия в сингулярно возмущенных системах”, , Сборник статей. К 80-летию со дня рождения академика Евгения Фроловича Мищенко, Тр. МИАН, 236 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2002, 27-32 ; O. D. Anosova, “Invariant Manifolds in Singularly Perturbed Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 236 (2002), 19-24
22. Е. А. Щепакина, “Сингулярно возмущенные модели горения в многофазных средах”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 142-157
23. Е. А. Щепакина, “Сингулярные возмущения в задаче моделирования безопасных режимов горения”, Матем. моделирование , 15 :8 (2003), 113-117
24. Л. И. Кононенко, “Инфинитезимальный анализ сингулярных систем с быстрыми и медленными переменными”, Сиб. журн. индустр. матем. , 6 :4 (2003), 51-59
25. Л. Г. Куракин, В. И. Юдович, “О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы”, Сиб. матем. журн. , 45 :2 (2004), 356-374 ; L. G. Kurakin, V. I. Yudovich, “On equilibrium bifurcations in the cosymmetry collapse of a dynamical system”, Siberian Math. J. , 45 :2 (2004), 294-310
26. С. В. Гонченко, В. С. Гонченко, “О бифуркациях рождения замкнутых инвариантных кривых в случае двумерных диффеоморфизмов с гомоклиническими касаниями”, Динамические системы и смежные вопросы геометрии , Сборник статей. Посвящается памяти академика Андрея Андреевича Болибруха, Тр. МИАН, 244 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2004, 87-114 ; S. V. Gonchenko, V. S. Gonchenko, “On Bifurcations of Birth of Closed Invariant Curves in the Case of Two-Dimensional Diffeomorphisms with Homoclinic Tangencies”, Proc. Steklov Inst. Math. , 244 (2004), 80-105
27. J. Guckenheimer, R. Haiduc, “Canards at folded nodes”, Mosc. Math. J. , 5 :1 (2005), 91-103
28. Э. Л. Аэро, С. А. Вакуленко, “Асимптотическое поведение решений для сильно нелинейной модели кристаллической решетки”, ТМФ , 143 :3 (2005), 357-367 ; E. L. Aero, S. A. Vakulenko, “Asymptotic Behavior of Solutions of a Strongly Nonlinear Model of a Crystal Lattice”, Theoret. and Math. Phys. , 143 :3 (2005), 782-791
29. А. Р. Борисюк, “Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай”, Матем. сб. , 196 :4 (2005), 3-22 ; A. R. Borisyuk, “Global bifurcations on a Klein bottle. The general case”, Sb. Math. , 196 :4 (2005), 465-483
30. Е. П. Белан, “О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной”, Журн. матем. физ., анал., геом. , 1 :1 (2005), 3-34
31. Т. С. Фирсова, “Топология аналитических слоений в $\mathbb C^2$ . Свойство Купки-Смейла”, Нелинейные аналитические дифференциальные уравнения , Сборник статей, Тр. МИАН, 254 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2006, 162-180 ; T. S. Firsova, “Topology of Analytic Foliations in $\mathbb C^2$ . The Kupka-Smale Property”, Proc. Steklov Inst. Math. , 254 (2006), 152-168
32. А. О. Ремизов, “Многомерная конструкция Пуанкаре и особенности поднятых полей для неявных дифференциальных уравнений”, Оптимальное управление , СМФН, 19 , РУДН, М., 2006, 131-170 ; A. O. Remizov, “Many-Dimensional Poincaré Construction and Singularities of Lifted Fields For Implicit Differential Equations”, Journal of Mathematical Sciences , 151 :6 (2008), 3561-3602
33. Л. И. Кононенко, “Качественный анализ сингулярно возмущенной системы в $\mathbb R^3$ ”, Сиб. журн. индустр. матем. , 10 :4 (2007), 76-82 ; L. I. Kononenko, “Qualitative analysis of a singularly perturbed system in $\mathbb R^3$ ”, J. Appl. Industr. Math. , 3 :4 (2009), 456-461
34. Ю. А. Гришина, А. А. Давыдов, “Структурная устойчивость простейших динамических неравенств”, Динамические системы и оптимизация , Сборник статей. К 70-летию со дня рождения академика Дмитрия Викторовича Аносова, Тр. МИАН, 256 , Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2007, 89-101 ; Yu. A. Grishina, A. A. Davydov, “Structural Stability of Simplest Dynamical Inequalities”, Proc. Steklov Inst. Math. , 256 (2007), 80-91
35. Ф. И. Атауллаханов, Е. С. Лобанова, О. Л. Морозова, Э. Э. Шноль, Е. А. Ермакова, А. А. Бутылин, А. Н. Заикин, “Сложные режимы распространения возбуждения и самоорганизация в модели свертывания крови”, УФН , 177 :1 (2007), 87-104 ; F. I. Ataullakhanov, E. S. Lobanova, O. L. Morozova, È. È. Shnol", E. A. Ermakova, A. A. Butylin, A. N. Zaikin, “Intricate regimes of propagation of an excitation and self-organization in the blood clotting model”, Phys. Usp. , 50 :1 (2007), 79-94
36. П. Д. Лебедев, “Вычисление меры невыпуклости плоских множеств”, Тр. ИММ УрО РАН, 13 , № 3, 2007, 84-94
37. “Владимир Игоревич Арнольд (к семидесятилетию со дня рождения)”, УМН , 62 :5(377) (2007), 175-184 ; “Vladimir Igorevich Arnol"d (on his 70th birthday)”, Russian Math. Surveys , 62 :5 (2007), 1021-1030
38. Ю. М. Апонин, Е. А. Апонина, “Иерархия моделей математической биологии и численно-аналитические методы их исследования (обзор)”, Матем. биология и биоинформ. , 2 :2 (2007), 347-360
39. Е. С. Голодова, Е. А. Щепакина, “Моделирование безопасных процессов горения с максимальной температурой”, Матем. моделирование , 20 :5 (2008), 55-68 ; E. S. Golodova, E. A. Shchepakina, “Modelling of safe combustion with maximal temperature”, Math. Models Comput. Simul. , 1 :2 (2009), 322-334
40. В. М. Закалюкин, А. О. Ремизов, “Лежандровы особенности в системах неявных обыкновенных дифференциальных уравнений и быстро-медленных динамических системах”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 140-153 ; V. M. Zakalyukin, A. O. Remizov, “Legendre Singularities in Systems of Implicit ODEs and Slow-Fast Dynamical Systems”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 136-148
41. Н. Е. Кулагин, Л. М. Лерман, Т. Г. Шмакова, “О радиальных решениях уравнения Свифта-Хоенберга”, Дифференциальные уравнения и динамические системы , Сборник статей, Тр. МИАН, 261 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2008, 188-209 ; N. E. Kulagin, L. M. Lerman, T. G. Shmakova, “On Radial Solutions of the Swift-Hohenberg Equation”, Proc. Steklov Inst. Math. , 261 (2008), 183-203
42. П. Д. Лебедев, А. А. Успенский, “Геометрия и асимптотика волновых фронтов”, Изв. вузов. Матем. , 2008, № 3, 27-37 ; P. D. Lebedev, A. A. Uspenskii, “Geometry and the asymptotics of wave forms”, Russian Math. (Iz. VUZ) , 52 :3 (2008), 24-33
43. Л. И. Кононенко, “Релаксации в сингулярно возмущенных системах на плоскости”, Вестн. НГУ. Сер. матем., мех., информ. , 9 :4 (2009), 45-50
44. Д. В. Аносов, “О математических работах Л. С. Понтрягина”, Дифференциальные уравнения и топология. I , Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Льва Семеновича Понтрягина, Тр. МИАН, 268 , МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2010, 11-23 ; D. V. Anosov, “On the mathematical work of L. S. Pontryagin”, Proc. Steklov Inst. Math. , 268 (2010), 5-16

Во многих областях знаний (биология, география, педагогика) термин «бифуркация» обозначает «раздвоение», «разделение». В нелинейной динамике термин «бифуркация» трактуется более широко - это качественное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Определение из Универсальной энциклопедии» Кирилла и Мефодия: Бифуркация, приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении ее параметров. Основы теории бифуркации заложены А. Пуанкаре и А. М. Ляпуновым в нач. XX века, затем эта теория была развита А.А. Андроновым и учениками. Знание основных бифуркаций позволяет существенно облегчить исследование реальных систем (физических, химических, биологических и др.), в частности предсказать характер новых движений, возникающих в момент перехода системы в качественно другое состояние, оценить их устойчивость и область существования.

В качестве примера рассмотрим простую механическую систему: шарик, катающийся по желобу, профиль которого определяется с помощью соотношения:

(8.1) у(х) = х 4 + ах 2 + bх

Соответствующий график, поясняющий рассматриваемую систему, представлен на рис. 8.1. Здесь х - переменная, которая однозначно определяет местоположение шарика (а, следовательно, состояние системы в рассматриваемый момент времени), а и b - управляющие параметры, определяющие профиль рассматриваемого желоба. При изменении величин управляющих параметров а и b изменяется профиль желоба, что влечет за собой изменение состояния системы - меняется местоположение равновесного состояния, шарик смещается в новое положение равновесия (происходит изменение величины переменной х ). Таким образом, меняя управляющие параметры а и b , мы можем изменять состояние системы.

Рис. 8.1. Шарик в потенциальной ямке (а = –0,8; b = 1). Координата х 0 определяет местоположение шарика, параметры а и b - профиль желоба

Все возможные значения управляющих параметров можно представить себе, как плоскость (а, b ), называемую плоскостью управляющих параметров. Любая точка на этой плоскости однозначно соответствует одному, вполне определенному виду профиля желоба, по которому катается шарик. И наоборот, любой желоб вида (8.1) может быть поставлен в соответствие точке на плоскости (а, b ). Если бы управляющих параметров было не два, а больше (например, три), то речь бы шла о пространстве параметров. Вернемся, однако, к понятию «бифуркация». Речь идет о том, что при малых изменениях значений управляющих параметров происходит качественное изменение состояния системы. Подчеркнем два важных момента: малые изменения значений управляющих параметров и качественное изменение состояния системы. Иными словами, всякое (малое) изменение управляющих параметров, конечно же, приводит к изменению состояния системы, но если отличия между начальным и конечным состояниями качественным образом не отличаются, то нельзя говорить о бифуркации.

Поясним сказанное на примере шарика в потенциальной ямке. На рис. 8.2 приведена плоскость управляющих параметров (а, b ), и в некоторых точках показан профиль желоба, по которому может кататься шарик. Из рисунка видно, например, что в точках 3 и 4 плоскости параметров профили желоба, конечно же, отличаются друг от друга, но это отличие носит количественный, а не качественный характер. Качественно же оба эти профиля подобны: они имеют один минимум, а, следовательно, одно состояние устойчивого равновесия. В то же самое время, на плоскости параметров существует область (ограниченная пунктирными линиями), в которой желоб имеет три состояния равновесия. Желоб имеет три точки, в которых шарик может находиться в состоянии равновесия; два из этих состояний устойчивы, а одно - неустойчивое.

Рис. 8.2. Плоскость управляющих параметров (а, b ) и вид потенциальной ямы в некоторых точках плоскости параметров

Если шарик будет находиться в состоянии неустойчивого равновесия (рис. 8.3), то любые сколь угодно малые воздействия на него (а такие воздействия рано или поздно обязательно реализуются) выведут шарик из этого состояния равновесия, и он скатится в одну из ямок - либо левую, либо правую. И в левой, и в правой ямках шарик будет находиться в состоянии устойчивого равновесия сколь угодно долго. В какую из двух этих ямок шарик попадет - определяется волей случая. Подобные системы, в которых возможно несколько устойчивых состояний (из которых реализуется, естественно, только одно), называются мультистабильными, а само явление - мультистабильностью.

Рис. 8.3. Система, находящаяся в состоянии неустойчивого равновесия. Незначительные воздействия на систему извне с неизбежностью приведут к тому, что система перейдет в устойчивое состояние равновесия

Понятно, что желоб с двумя ямками (и тремя состояниями равновесия) качественно отличается от желоба с одним состоянием равновесия. Переход от одного состояния к другому, качественно иному, как нетрудно догадаться, осуществляется на пунктирных линиях (см. рис. 8.2). Если на плоскости управляющих параметров достаточно близко «подойти» к пунктирной линии, то затем, слегка изменив управляющий параметр, можно пересечь эту линию, что приведет к качественной перестройке всей системы. Произойдет то, что и называется бифуркацией: качественное изменение состояния системы при малом изменении управляющих параметров. Линию, при пересечении которой происходит бифуркация, называют линией бифуркации, а значения параметров, при которых наблюдается бифуркация - бифуркационными параметрами.

Рассмотрим теперь суть происходящих явлений с точки зрения шарика, который находится в желобе. Пусть управляющие параметры а и b медленно изменяются в соответствии с тем, как это показано стрелкой на рис. 8.4. В соответствии с изменением управляющих параметров, профиль желоба непрерывно изменяется. В точке 1 плоскости параметров желоб имеет одно устойчивое состояние равновесия, в котором и находится шарик. При пересечении пунктирной линии в точке 2 у желоба возникает еще один минимум и один максимум, т.е. появляются еще два состояния равновесия, одно из которых устойчивое (минимум), а другое - нет. По мере дальнейшего движения по плоскости параметров по указанному маршруту второй минимум становится все более глубоким (точка 3) и при достижении точки 4 глубина обеих ямок желоба оказывается одинаковой. В этом случае оба состояния равновесия «равноправны». Заметим, однако, что шарик до сих пор даже «не заметил» появления второго состояния равновесия, в котором он вполне мог бы находиться. Для шарика почти ничего не изменилось: он как находился в ямке, так и продолжает там оставаться. Да, с изменением управляющих параметров изменяется координата х 0 равновесного состояния, а, следовательно, и координата местонахождения шарика, но это изменение столь незначительное, что шарик не придает ему особого значения. Плавные, малые изменения незаметны и кажутся неважными.

Рис. 8.4. Изменение состояния системы при движении по плоскости параметров в направлении, показанном стрелкой

Действительно, задумываемся ли мы каждое утро над тем, что стали на день старше? Обращаем ли мы внимание на то, что 15 января продолжительность дня была 7 ч 39 мин, а 16 января - 7 ч 42 мин? Замечаем ли осенним днем, что листья стали еще чуть-чуть желтее, чем были накануне? Так незаметно накапливаются малые изменения, на которые мы не обращаем внимания. Малое изменение координаты состояния равновесия от точки к точке при движении по плоскости управляющих параметров - вещь столь незначительная и неважная, что шарик не обращает на это никакого внимания. Наверное, шарику вполне могло бы показаться интересным и важным появление второго возможного состояния, в котором он мог бы находиться, но это второе состояние остается невидимым для шарика, оно скрыто от него высокими стенками желоба, и шарик о его существовании просто-напросто не догадывается.

Продолжим движение по плоскости управляющих параметров. В точке 5 глубина второго, «альтернативного» минимума превосходит глубину того минимума, в котором находится шарик, да и ширина второго минимума тоже больше, чем ширина первого. Понятно, что второе устойчивое состояние равновесия теперь уже более предпочтительно, нежели первое. Тем не менее, шарик по-прежнему «живет» в первом состоянии равновесия, и для него по-прежнему, по большому счету, ничего не изменилось. Второе состояние равновесия по-прежнему для него невидимо. Хотя теперь шарик может, если обратит внимание, по косвенным признакам определить, что в системе что-то изменилось: стали не столь крутыми стенки ямки, в которой он находится, да и глубина ямки, кажется, стала поменьше. Но сможет ли шарик за этими незначительными изменениями (которые являются предвестниками дальнейших событий) увидеть нечто более серьезное, чем некоторое изменение окружающей его среды, сможет ли он понять, что его теперешнее состояние равновесия находится под угрозой, зависит от его, шарика, «прозорливости». В подобной простой механической системе, наверное, это не очень сложно, особенно если у шарика есть некоторый опыт, т.е. если он несколько раз уже бывал в подобных ситуациях. Ведь еще небольшое движение, незначительное изменение управляющих параметров, и состояние равновесия, в котором очень долгое время находился шарик, исчезнет (точка 6), и шарик будет переброшен в совершенно иное состояние.

Приведем другой классический пример бифуркации, рассмотренный еще великим Эйлером. Нам понадобится измерительная линейка, тонкий столовый нож, полотно от ножевки, длинная пластмассовая расческа и т.п. Поставьте ее вертикально на твердое основание, а сами, обезопасив руку от травмы, начинайте давить на нее вниз (рис. 8.5). Увеличивая усилие F , вы обнаружите, что при F бо льших некоторого значения F b полоска не сохраняет первоначальную прямолинейную форму (рис 8.5а) - это состояние теряет устойчивость, а вместо него возможно одно из двух других состояний (1 или 2 на рис 8.5б), когда полоска искривлена. Причем, какое состояние установится, зависит от разных незначительных факторов (первоначальной деформации полоски, отклонением от вертикали приложенной силы, вибрациями и т.п.). Здесь F - управляющий параметр, F b - его бифуркационное значение.

Рис. 8.5. Опыт с линейкой: а) состояние линейки до бифуркации (величина F меньше бифуркационного значения); б) два возможных устойчивых состояния, в которые переходит система при превышении силой F бифуркационного значения F b ; в) соответствующая бифуркационная диаграмма

Происходящее в рассмотренной системе удобно иллюстрировать с помощью графиков (рис. 8.5в, где х - отклонение средней точки полоски от вертикали) - бифуркационных диаграмм. На рисунке по горизонтали отложены значения параметра, а по вертикали соответствующие им значения переменной, установившиеся в системе (т.е. это - и не фазовая плоскость и не плоскость параметров, а нечто комбинированное). На диаграмме видно, что вместо одного состояния, отмеченного цифрой 0, после бифуркации существуют и могут быть реализованы на практике состояния 1 и 2. Что касается состояния 0, то оно продолжает в принципе существовать и при значениях F , бо льших бифуркационного, но не может быть практически реализовано из-за его неустойчивости.

Понятно, что события, подпадающие под определение «бифуркация» (качественное изменение состояния системы при малых изменениях управляющих параметров), вполне можно отыскать и в социальных системах. Примером может служить революция, коренным образом перестраивающая привычную жизнь человеческого общества. Возможны и менее «глобальные» примеры. Человек работает-работает где-либо, и вдруг ни с того ни с сего, вроде бы из-за пустяка говорит: «А гори она огнем, вся эта шарага» и пишет заявление об увольнении. Система переходит в другое, качественно иное состояние.

Следует, однако, отметить следующий аспект: социальные системы чрезвычайно сложны, и поэтому следует помнить о том, что применять существующие в нелинейной динамике понятия к подобным системам (в том числе и понятия «бифуркация», «мультистабильность») следует с осторожностью, памятуя о том, что простой механический перенос может привести к ошибкам, а порой и к фальсификации. Когда речь идет о шарике в потенциальной яме, совершенно понятно, о каких возможных состояниях системы идет речь, какие из них устойчивые, какие нет, наконец, какое состояние реализуется в настоящий момент времени. Но что понимать под возможными состояниями социальной системы? Реализующееся состояние в данный момент времени - единственное, про остальные состояния, «существуют» они (точнее говоря, могли ли они осуществиться вместо теперешнего) или нет, остается только гадать, и наши догадки останутся догадками, о достоверности которых мы тоже можем делать свои заключения, но не более. Понятие «мультистабильность», по всей видимости, может быть применено к социальными системам, но вот «экспериментально» проверить существование мультистабильности в социальных системах, наверное, невозможно. Невозможно показать, что для какого-либо фиксированного момента времени (например, сегодняшнего) помимо того состояния, которое реализуется, «существует» еще одно (или несколько) альтернативных состояний, каждое из которых могло с той или иной вероятностью реализоваться. Предполагать это можно, но экспериментально проверить - нет. И конечно, «увидеть», «почувствовать», что социальная система приближается к точке бифуркации, за которой возникнет качественно другое состояние, существенно сложнее. И если мы видели, что шарик, находящийся в потенциальной ямке, практически до самого последнего момента не «видит» надвигающейся бифуркации (и перехода системы в иное состояние), что говорить о людях и о социальных системах. Н.С. Хрущев, например, не заметил приближение системы к точке бифуркации, отправляясь из отпуска на Пленум ЦК в октябре 1964 года, по результатам которого он был освобожден от должности Первого секретаря ЦК и выведен из состава Президиума, а на следующий день - от должности Председателя Совета Министров СССР. И Гай Юлий Цезарь в 44 году до н.э. также не заметил надвигающейся бифуркации, за что поплатился жизнью.

Обратим внимание еще на один важный аспект, связанный с понятием «бифуркация». В тот момент, когда система (по параметрам) находится вблизи точки бифуркации, очень большую роль начинают играть малые возмущения. Эти возмущения могут носить случайный характер или могут быть целенаправленными, но их роль существенно возрастает. Вернемся к шарику в потенциальной ямке и рассмотрим два состояния системы: вдали и вблизи от точки бифуркации (рис. 8.6). Видно, что когда система находится вдали отточки бифуркации, малые воздействия на нее не приводят к существенным изменениям ее состояния: шарик остается в том же самом положении, как и раньше. Для того чтобы «перебросить» систему в другое возможное состояние, необходимо приложить гораздо бо льшие усилия. В то же самое время, когда система находится вблизи точки бифуркации, даже малого воздействия (которого раньше система просто-напросто не заметила бы) достаточно, чтобы перевести систему из одного состояния в другое.

Рис. 8.6. Система «шарик в потенциальной ямке» вдали и вблизи от точки бифуркации

Итак, вблизи точки бифуркации малые воздействия на систему могут привести к несоизмеримо большим «откликам». Еще одним фактором, который может привести к изменению состояния системы, является малое изменение управляющих параметров. Если система близка к точке бифуркации, то легкое «шевеление» управляющих параметров может привести к тому, что система окажется уже за границей бифуркации (как говорят, в закритической области), и система сама, уже безо всяких внешних воздействий, перейдет в новое состояние. На примере шарика в желобе, после пересечения бифуркационной линии в точке 6 (см. рис. 8.4), устойчивое состояние равновесия, в котором до этого момента находился шарик, сливается с неустойчивым и исчезает, а, следовательно, шарику ничего более не остается, как «перейти» к другому состоянию равновесия.

Примеров подобному поведению систем вблизи линии бифуркации много. По всей видимости, ряд операций на финансовых и фондовых рынках также можно использовать в качестве примера. Организованные действия группы лиц, заинтересованных в проведении той или иной финансовой операции, проведенные в нужный момент, приводят к тому, что либо на систему, находящуюся около состояния бифуркации, оказывается воздействие, выводящее ее из состояния равновесия, либо происходит малое шевеление управляющих параметров, и система оказывается в закритической области. В результате происходит переход системы в новое состояние, например, контрольный пакет акций оказывается у заинтересованного лица. Но если подобную операцию проводить в тот момент, когда система далека от состояния бифуркации, можно затратить большие средства, но желаемого результата не достичь.

Таким образом, воздействуя на систему, находящуюся вблизи бифуркационного состояния, можно добиться кардинальных изменений. Другое дело, что социальные системы - это не шарик в желобе. Определить, когда система приближается к точке бифуркации - сложная задача. Но не менее сложная и не менее важная задача, если возникает желание управлять подобным образом социальными системами, - это определить, в какое состояние перейдет система после того, как она покинет состояние равновесия.

Не стоит, однако, думать, что бифуркация - это всегда какое-либо резкое изменение, когда система изменяется до неузнаваемости. Пример бифуркации с сосуществующими положениями равновесия, описанный выше - один из самых простых. Вообще, в теории бифуркаций существует достаточно большое число различных типов бифуркационных ситуаций. Так, например, различают бифуркации и катастрофы; существует даже теория катастроф. Следует подчеркнуть, что бифуркации могут происходить плавно, подчас незаметно. Пересечение пунктирной линии в точке 2 на рис. 8.4 приводит к тому, что система качественно изменяется (меняется число возможных устойчивых состояний равновесия в системе), следовательно, происходит бифуркация. Однако, как уже говорилось, шарик, находящийся в другой ямке, не замечает произошедшей бифуркации. Другой пример с той же самой системой приведен на рис. 8.7. При движении по плоскости управляющих параметров вдоль линии b = 0 в точке a = 0 происходит бифуркация, состояние системы качественно изменяется, однако это изменение происходит плавно, без «катаклизмов». Шарик может заметить, что в системе что-то изменилось, поскольку его координата х 0 вначале (до бифуркации) была равна нулю, а затем стала отличной от нуля. Однако это изменение произошло очень плавно, и ему можно не придать значение.

Рис. 8.7. Изменение состояния системы при движении по плоскости параметров вдоль линии b = 0 в направлении, указанном стрелкой

Но и в этом случае вблизи точки бифуркации малые воздействия на систему играют значительную роль. Именно эти воздействия определяют, в какую из ямок (левую или правую) попадет шарик. Именно эти ничтожные воздействия определяют, по большому счету, дальнейшую судьбу системы. В ситуации, изображенной на рис. 8.7, малые воздействия привели к тому, что шарик оказался в правой ямке. Если, после того как система уйдет от точки бифуркации, потребуется изменить состояние системы, потребуется перебросить шарик в другую ямку, то придется приложить усилия, несоизмеримо больше тех, которые в точке бифуркации определили выбор дальнейшей эволюции системы. Примером такой «мягкой», но заметной бифуркации могут являться демократические выборы. До того момента, пока не прошло голосование, на судьбу дальнейшего развития страны могут повлиять самые незначительные факторы (может быть, вплоть до прически кандидата). После того, как выборы состоялись, изменить что-либо гораздо сложнее.

Недавно опубликована статья И.Пригожина Кость еще не брошена. Послание будущим поколениям. В частности, он пишет следующее. «Будущее не дано нам заранее. Великий французский историк Фернанд Бродель однажды заметил: „События - это пыль". Правильно ли это? Что такое событие? Сразу же приходит аналогия с „бифуркациями", которые изучаются прежде всего в неравновесной физике. Эти бифуркации появляются в особых точках, где траектория, по которой движется система, разделяется на „ветви". Все ветви равно возможны, но только одна из них будет осуществлена. Обычно наблюдается не единственная бифуркация, а целая последовательность бифуркаций... С этой точки зрения история оказывается последовательностью бифуркаций».

Далее И. Пригожин подчеркивает, что за выбор ветви, которая возникает после точки бифуркации, отвечают флуктуации на микроскопическом уровне (они определяют событие, которое произойдет). В применении к обществу (по Пригожину такое применение - метафора) событие представляет собой возникновение новой социальной структуры после прохождения бифуркации, а флуктуации - следствие индивидуальных действий. Таким образом, событие имеет микроструктуру. В качестве примера И. Пригожин рассматривает революцию 1917 года в России, указывая, что конец царского режима мог принять различные формы. Он считает, что ветвь, по которой пошло развитие, была результатом действий «флуктуации», связанной с отсутствием дальновидности у царя, непопулярностью его жены, слабостью Керенского, насилием Ленина. Эта микроструктура и обусловила все последующие события.

«Мое послание будущим поколениям состоит, стало быть, в том, что кость еще не брошена, что ветвь, по которой пойдет развитие после бифуркации, еще не выбрана. Мы живем в эпоху флуктуаций, когда индивидуальное действие остается существенным... Я верю в возникновение необходимых флуктуаций, посредством которых те опасности, которые мы ощущаем сегодня, могли бы быть успешно преодолены».