Как обозначается неравенство. Общие сведения о неравенствах. Подробнее о сложении и умножении
Определение и основные свойства неравенств.
Определения:
Неравенствами называют выражения вида a≤ b) ,a>b (a≥ b) ,
где a и b могут быть числами или функциями.
Символы <(≤ ) , >( ≥ ) называются знаками неравенства и читаются соответственно:
меньше(меньше или равно) ,больше(больше или равно).
Неравенства, которые записываются с помощью знаков > и < ,называются строгими ,
а неравенства, в записи которых участвуют знаки ≥ и ≤,- нестрогими .
Неравенства вида a
и читаются соответственно:x больше a ,но меньше b (x большеили равно a ,но меньше или равно b ).
Различают два вида неравенств: числовые (2>0 ,7 ;½ <6 ) и неравенства с переменной (5 x-40>0 ; x²-2x<0 ) .
Свойства числовых неравенств :
- Если a>b , то b; если a, то b>a .
- Если
a
и
b
, то a . - Если
aи c
-
любое
число,то a +c
- Если
a
и c>0
,
то
ac
Если a и c<0, то ac>bc . - Если
a
и
c
, то a +c. - Если
a
и c
, где a, b, c, d- положительные числа, то ac .
Числовые промежутки
| Неравенство |
Числовой промежуток |
Название промежутка |
Геометрическая интерпретация |
| замкнутый промежуток(отрезок) с концами a и b ,a |
|
||
| открытый промежуток (интервал) с концами a и b ,a |
|
||
| полуоткрытые промежутки (полуинтервалы) концами a и b ,a |
|
||
| бесконечные промежутки (лучи) |
|
||
| бесконечные промежутки (открытые лучи) |
|
||
|
бесконечный промежуток (числовая прямая) |
|
О сновные определения и свойства.
Определения:
Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной,
кот орое обращает его в верное числовое неравенство.
Решить неравенство - значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
Неравенства, имеющие одни и те же решения, называются равносильными .
Неравенства, не имеющие решений, также считают равносильными.
При решении неравенств используются следующие свойства :
1) Если из одной части неравенства перенести в
другую слагаемое с противоположным знаком,
2) Если обе части неравенства умножить или
разделить на одно и то же положительное число,
то получится равносильное ему неравенство.
3) Если обе части неравенства умножить или
разделить на одно и то же отрицательное число,
изменив при этом знак неравенства на противоположный,
то получится равносильное ему неравенство.
Многие неравенства в процессе
преобразований сводятся к линейным неравенствам
.
Н еравенства вида ах>b (ах , где а и b - некоторые числа,
Называют линейными неравенствами с одной переменной.
Если a>0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству
и множество решений неравенства есть промежуток
Если a<0 ,то неравенство ax>b равносильно неравенству
и множество решений неравенства есть промежуток
неравенство примет вид 0∙ x>b , т.е. оно не имеет решений , если b≥0 ,
и верно при любых x ,если b<0 .
Аналитический способ решения неравенств с одной переменной.
Алгоритм решения неравенства с одной переменной
- Преобразовать обе части неравенства.
- Привести подобные слагаемые.
- Привести неравенства к простейшему виду, на основании свойств неравенств.
- Записать ответ.
Приведем примеры решения неравенств .
Пример 1. Решить неравенство 3x≤ 15.
Решение:
О бе части неравенства
р азделим на положительное число 3 (свойство 2 ) : x ≤ 5.
Множество решений неравенства представляет собой числовой промежуток (-∞;5] .
Ответ: (- ∞;5]
Пример 2 . Решить неравенство -10 x≥34 .
Решение:
О бе части неравенства р азделим на отрицательное число -10 ,
при этом знак неравенства изменим на противоположный (свойство 3 ) : x ≤ - 3,4.
Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-∞;-3,4] .
Ответ : (-∞;-3,4] .
Пример 3. Решить неравенство 18+6x>0.
Решение:
Перенесем слагаемое 18 с противоположным знаком в левую часть неравенства (свойство 1): 6x>-18.
Разделим обе части на 6 (свойство 2 ) :
x>-3.
Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-3;+∞ ).
Ответ: (-3;+∞ ).
Пример 4. Решить неравенство 3 (x-2)-4(x+2)<2(x-3)-2.
Решение:
Раскроем скобки : 3x-6-4x-8<2x-6-2 .
Перенесем члены,содержащие неизвестное,в левую часть,
а члены не содержащие неизвестное, в правую часть (свойство 1 ) :
3x-4x-2x<6+8-6-2.
Приведем подобные члены: -3 x<6.
Разделим обе части на -3 (свойство 3 ) :
x>-2.
Множество решений неравенства представляет собой промежуток (-2;+∞ ).
Ответ: (-2;+∞ ).
Пример 5 . Решить неравенство
Решение:
Умножим обе части неравенства на наименьший общий знаменатель дробей,
входящих в неравенство, т. е. на 6 (свойство 2 ) .
Получим:
,
2x-3x≤12.
Отсюда, - x≤12,x≥-12 .
Ответ: [ -12;+∞ ).
Пример 6 . Решить неравенство 3(2-x)-2>5-3x.
Решение:
6-3x-2>5-3x, 4-3x>5-3x,-3x+3x>5-4.
Приведем подобные члены в левой части неравенства и запишем результат в виде 0 ∙ x>1.
Полученное неравенство не имеет решений, так как при любом значении x
оно обращается в числовое неравенство 0 < 1, не являющееся верным.
Значит, не имеет решений и равносильное ему заданное неравенство.
Ответ: решений нет.
Пример 7 . Решить неравенство 2(x+1)+5>3-(1-2x) .
Решение:
Упростим неравенство,раскрыв скобки:
2x+2+5>3-1+2x, 2x+7>2+2x,2x-2x>2-7, 0∙ x>-5 .
Полученное неравенство является верным при любом значении x,
так как левая часть при любом x равна нулю,а 0>-5.
Множеством решения неравенства является промежуток (-∞;+∞ ).
Ответ: (-∞;+∞ ).
Пример 8 . При каких значениях x имеет смысл выражение:
b)
Решение:
а)По определению арифметического квадратного корня
должно выполнятся следующее неравенство 5x-3 ≥0.
Решая, получаем 5x≥3, x≥0,6.
Итак, данное выражение имеет смысл при всех x из промежутка }
