Сложные неравенства с модулем примеры решения. Уравнения и неравенства с модулем

Чем больше человек понимает, тем сильнее в нем желание понимать

Фома Аквинский

Метод интервалов позволяет решать любые уравнения, содержащие модуль. Суть этого метода в том, чтобы разбить числовую ось на несколько участков (интервалов), причем разбить ось нужно именно нулями выражений, стоящих в модулях. Затем на каждом из получившихся участков всякое подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно. Поэтому каждый из модулей может быть раскрыт или со знаком минус, или со знаком плюс. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.

Рассмотрим данный метод на конкретном примере.

|x + 1| + |2x – 4| – |x + 3| = 2x – 6.

1) Найдем нули выражений, стоящих в модулях. Для этого нужно приравняем их к нулю, и решить полученные уравнения.

x + 1 = 0 2x – 4 = 0 x + 3 = 0

x = -1 2x = 4 x = -3

2) Расставим получившиеся точки в нужном порядке на координатной прямой. Они разобьют всю ось на четыре участка.

3) Определим на каждом из получившихся участков знаки выражений, стоящих в модулях. Для этого подставляем в них любые числа с интересующих нас интервалов. Если результат вычислений – число положительное, то в таблице ставим «+», а если число отрицательное, то ставим «–». Это можно изобразить так:

4) Теперь будем решать уравнение на каждом из четырех интервалов, раскрывая модули с теми знаками, которые проставлены в таблице. Итак, рассмотрим первый интервал:

I интервал (-∞; -3). На нем все модули раскрываются со знаком «–». Получим следующее уравнение:

-(x + 1) – (2x – 4) – (-(x + 3)) = 2x – 6. Приведем подобные слагаемые, раскрыв предварительно скобки в полученном уравнении:

X – 1 – 2x + 4 + x + 3 = 2x – 6

Полученный ответ не входит в рассматриваемый интервал, поэтому в окончательный ответ писать его не надо.

II интервал [-3; -1). На этом интервале в таблице стоят знаки «–», «–», «+». Именно так и раскрываем модули исходного уравнения:

-(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Упростим, раскрыв при этом скобки:

X – 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6. Приведем в полученном уравнении подобные:

x = 6/5. Полученное число не принадлежит рассматриваемому интервалу, поэтому оно не является корнем исходного уравнения.

III интервал [-1; 2). Раскрываем модули исходного уравнения с теми знаками, которые стоят на рисунке в третьей колонке. Получаем:

(x + 1) – (2x – 4) – (x + 3) = 2x – 6. Избавимся от скобок, перенесем слагаемые, содержащие переменную x в левую часть уравнения, а не содержащие x в правую. Будем иметь:

x + 1 – 2x + 4 – x – 3 = 2x – 6

В рассматриваемый интервал число 2 не входит.

IV интервал ) – они автоматом посчитают это за неправильный ответ. Также при тестировании, если задано нестрогое неравенство с модулями, то среди решений ищите области с квадратными скобками.

На интервале (-3;0) раскрывая модуль меняем знак функции на противоположный

Учитывая область раскрытия неравенства, решение будет иметь вид

Вместе с предыдущей областью это даст два полуинтервала

Пример 5. Найти решение неравенства
9x^2-|x-3|>=9x-2

Решение:
Задано нестрогое неравенство, подмодульная функция которого равна нулю в точке x=3. При меньших значениях она отрицательная, при больших – положительная. Раскрываем модуль на интервале x<3.

Находим дискриминант уравнения

и корни

Подставляя точку ноль, выясняем, что на промежутке [-1/9;1] квадратичная функция отрицательна, следовательно промежуток является решением. Далее раскрываем модуль при x>3