Сортировка методом прямого включения. Алгоритмы и структуры данных Функция метода простого включения c

Такой метод широко используется при игре в карты. Элементы (карты) мысленно делятся на уже “готовую” последовательность A1 … An и исходную последовательность Ai … An. При каждом шаге, начиная с i=2 и увеличивая I каждый раз на единицу, из исходной последовательности извлекается i-й элемент и перекладывается в готовую последовательность, при этом он вставляется в нужное место.

Выше показан в качестве примера процесс сортировки с помощью включения восьми случайно выбранных чисел:Алгоритм этой сортировки таков:

FOR i:=2 ТО n DО

включение х на соответствующее место среди а ... a[j];

В реальном процессе поиска подходящего места удобно, чередуя сравнения и движения по последовательности, как бы просеивать Х, т. е. Х сравнивается с очередным элементом aj, а затем либо Х вставляется на свободное место, либо aj сдвигается (передается)вправо, и процесс "уходит" влево. Обратите внимание, что процесс просеивания может закончиться при выполнении одного из, двух следующих различных условий:

1. Найден элемент aj с ключом, меньшим чем ключ у Х.

2. Достигнут левый конец готовой последовательности.

Такой типичный случай повторяющегося процесса с двумя условиями окончания позволяет нам воспользоваться хорошо известным приемом барьера (sentinel). Здесь его легко применить, поставив барьер a0 со значением Х. (Заметим, что для этого необходимо расширить диапазон индекса в описании переменной а до 0 ... n.)

Анализ метода.прямого включения. Число сравнений ключей (Ci) при i-ом просеивании самое большее равно i - 1,самое меньшее – 1; если предположить, что все перестановки из п ключей равновероятны, то среднее число сравнений - i/2. Число, же пересылок (присваиваний элементов) Mi равно Ci + 2 (включая барьер). Поэтому общее число сравнений и число пересылок таковы:

Сave = (n2 + n - 2)/4,

Сmax = (n2 + n - 4)/4,

М min = З*(n - 1),

М ave = (n2 + 9n - 10)/4,

М max = (n2 + 3n - 4)/2.

Минимальные оценки встречаются в случае уже упорядоченной исходной последовательности элементов, наихудшие же оценки – когда они первоначально расположены в обратном порядке. В некотором смысле сортировка с помощью включений демонстрирует истинно естественное поведение. Ясно, что приведенный алгоритм описывает процесс устойчивой сортировки: порядок элементов с равными ключами при нем остается неизменным.

Алгоритм с прямыми включениями можно легко улучшить, если обратить внимание на то, что готовая последовательность (a1 … ai-1 , в которую надо вставить новый элемент, сама уже упорядочена. Естественно остановиться на двоичном поиске, при котором делается попытка сравнения с серединой готовой последовательности, а затем процесс деления пополам идет до тех пор, пока не будет найдена точка включения. Такой модифицированный алгоритм сортировки называется методом с двоичным включением (binary insertion).

Такой метод широко используется при игре в карты. Элементы (карты) мысленно делятся на уже «готовую» последовательность A 1 , A 2 ,…, A i -1 , и «оставшуюся» (не сортированную) часть: A i , A i +1 ,…, A N .

Суть метода заключается в том, что при каждом i-ом шаге (начиная с i = 2), из неотсортированной части извлекается i-ый элемент и помещается в «готовую» часть, при этом он вставляется на нужное место.

Текстовый алгоритм метода:

1. Начало.

2. Выполнить цикл, пока i имеет значения от 2 до N,
шаг = 1:

а) i-ый элемент (A(i)) поместить в ячейку A(0);

б) присвоить j = -1, то есть j равно номеру элемента, находящегося слева от испытуемого (i-го) и таким образом стоящего в «готовой» последовательности;

в) если А(0) ≥ А(j), то элемент А(0) поместить в ячейку А(j+1), иначе элемент А(j) поместить в ячейку А(j+1), уменьшить значение j на единицу и вновь выполнить пункт в).

На рис. 1 представлена блок-схема сортировки методом прямого включения.

Метод работает следующим образом: на i-ом шаге (начиная с i = 2) i-ый элемент помещается в свободную ячейку (например, А(0)). Этот элемент сравнивается со стоящим в «готовой» части слева от него элементом. Если элемент А(0) меньше, то происходит сдвиг вправо сравниваемого (j-го элемента) на одну позицию, после чего для сравнения берется следующий элемент. Если же элемент А(0) при сравнении оказывается не меньше, то он помещается на место, стоящее сразу за сравниваемым элементом.

Рис. 1. Блок-схема сортировки методом прямого включения

На рис. 2 приведен пример выполнения сортировки методом прямого включения.

Исходная последовательность
	А (0)
I = 2
I = 3
I = 4
I = 5
I = 6
I = 7
I = 8
Результат

Рис. 2. Пример сортировки методом прямого включения

Сортировка прямым включением больше подходит для случая, когда сортируемые данные поступают последовательно (одно за другим).

Сортировка методом прямого выбора

Суть метода заключается в следующем. Выбирается наименьший элемент в «оставшейся» (неотсортированной) части и меняется местами с первым элементом (в этой же неотсортированной части). После этого длина неотсортированной части уменьшается на один элемент (на первый), и весь процесс продолжается уже с (n – 1) элементами, затем с (n – 2) элементами и т.д., до тех пор, пока не останется один, самый большой элемент.

Этот метод в некотором смысле противоположен методу прямого включения. В методе прямого включения на каждом шаге рассматривается только один очередной элемент и все элементы уже «готовой» части последовательности, среди которых отыскивается точка включения этого очередного элемента. А в методе прямого выбора для поиска одного (минимального) элемента просматривают все элементы неотсортированной части, и этот минимальный элемент помещается как очередной элемент в уже «готовую» часть.

Текстовый алгоритм метода:

1. Начало.

2. Выполнить цикл, пока i имеет значения от 1 до N – 1,
шаг = 1:

а) поместим текущий (i-ый) элемент в какую-нибудь ячейку памяти (Х) и запомним порядковый номер (i) текущего элемента (в переменной К);

б) выполнить цикл, пока j имеет значения от i + 1 (то есть от следующего за i элемента) до N, шаг = +1:

тело цикла: если Х > А(j), то помещаем в ячейку Х элемент А(j) и запоминаем его номер в ячейке К;

в) присвоить А(К) = А(i) и А(i) = Х.

На рис. 3 приведен пример выполнения сортировки методом прямого выбора.

Исходная последовательность	44						06
I = 1		55	12
I = 2			55			18
I = 3				42		55
I = 4					94		44
I = 5						55	94
I = 6							94	67
I = 7

Рис. 3. Пример сортировки методом прямого выбора

Сортировка методом прямого включения, так же как и сортировка методом простого выбора, обычно применяется для массивов, не содержащих повторяющихся элементов.

Сортировка методом прямого включения, как и все описанные выше, производится по шагам. На k - м шаге считается, что часть массива, содержащая первые k-1 элементов, уже упорядочена, то есть

а ≤ а ≤ ... ≤ a .

Далее необходимо взять k - й элемент и подобрать для него такое место в отсортированной части массива, чтобы после его вставки упорядоченность не нарушалась, то есть надо найти такое j (1 ≤ j ≤ k -1), что а [j] ≤ a[k] < a. Затем вставить элемент а [k] на найденное место.

С каждым шагом отсортированная часть массива увеличивается. Для выполнения полной сортировки потребуется выполнить n-1 шаг.

Рассмотрим этот процесс на примере. Пусть требуется отсортировать массив из 10 элементов по возрастанию методом прямого включения

1 - й шаг

13 6 8 11 3 1 5 9 15 7 Рассматриваем часть массива из одного эле-

мента (13). Нужно вставить в нее второй

элемент массива (6) так, чтобы упорядочен-

ность сохранилась. Так как 6 < 13, вставляем

6 на первое место. Отсортированная часть

массива содержит два элемента (6 13).

3 - й шаг

6 8 13 11 3 1 5 9 15 7 Следующий элемент - 11. Он записывается в упорядоченную часть массива на третье место, так как 11 > 8 , но 11 < 13.

5 - шаг

3 6 8 11 13 1 5 9 15 7 По той же причине 1 записываем на первое

6 - шаг

1 3 6 8 11 13 5 9 15 7 Так как 5 > 3, но 5 < 6 то место 5 в упоря-

Доченной части - третье.

7 - шаг

1 3 5 6 8 11 13 9 15 7 Место числа 9 - шестое.

8 - шаг

1 3 5 6 8 9 11 13 15 7 Определяем место для предпоследнего

Элемента 15. Оказывается, что этот эле-

мент массива уже находится на своем месте.

9 - шаг

1 3 5 6 8 9 11 13 15 7 Осталось подобрать подходящее место для

Последнего элемента (7).

1 3 5 6 7 8 9 11 13 15 Массив отсортирован полностью.

Сейчас можно коротко описать фрагмент алгоритма сортировки методом прямого включения:

For k: = 2 To n Do

{ так как начинам сортировку с поиска подходящего места для a, i изменяется от 2 до n }

‘вставить x на подходящее место в a , ..., a[k] ‘

Осталось ответить на вопрос, как осуществить поиск подходящего места для элемента x. Поступим следующим образом: будем просматривать элементы, расположенные левее x (то есть те, которые уже упорядочены), двигаясь к началу массива. Нужно просматривать элементы a[ j ] , j изменяется от k-1 до 1. Такой просмотр должен закончиться при выполнении одного из следующих условий:

· найден элемент a[j] < x, что говорит о необходимости вставки x между a и a[j].

· достигнут левый конец упорядоченной части массива, следовательно, нужно вставить x на первое место.

До тех пор, пока одно из этих условий не выполнится, будем смещать просматриваемые элементы на первую позицию вправо, в результате чего в отсортированной части будет освобождено место под x.

Программа сортировки методом прямого включения:

program n3; { Сортировка по убыванию }

type ar=array of integer;

procedure sorting3(var a:ar);

var i,j,x,k:integer;

for k:=2 to n do

x:=a[k]; j:=k-1;

while (j>0)and(x>=a[j]) do

writeln("Введите исходный массив:");

for i:=1 to n do read(a[i]);

writeln("Отсортированный массив:");

for i:=1 to n do write(a[i]," ");

Цель работы Исследовать сортировку массива методом прямого включения и оценить эффективность этого алгоритма.

Общие сведения

Сортировка методом прямого включения, так же, как и сортировка методом простого выбора, обычно применяется для массивов, не содержащих повторяющихся элементов. Сортировка этим методом производится последовательно шаг за шагом. На k-м шаге считается, что часть массива, содержащая первые k-1 элемент уже упорядочена, то есть. Далее необходимо взять k-й элемент и подобрать для него место в отсортированной части массива такое, чтобы после его вставки упорядоченность не нарушилась, то есть надо найти такое что. Затем надо вставить элемент a[k] на найденное место. С каждым шагом отсортированная часть массива увеличивается. Для выполнения полной сортировки потребуется выполнить n-1 шаг. Осталось ответить на вопрос, как осуществить поиск подходящего места для элемента х. Поступим следующим образом: будем просматривать элементы, расположенные левее х (то есть те, которые уже упорядочены), двигаясь к началу массива. Нужно просматривать элементы а[j], j изменяется от k-l до 1. Такой просмотр закончится при выполнении одного из следующих условий: найден элемент а[j]Пример Коротко опишем фрагмент алгоритма сортировки с помощью прямого включения: For k:= 2 to n do begin x:= a[k]; j:= k-1; { вставить х на подходящее место в a, …, a[k] } { для этого организуем цикл, которые выполняется, пока } { j > 0 и x

Контрольное задание

Написать программу вставки последнего элемента массива после первого отрицательного элемента этого же массива.

Варианты заданий

ВНИМАНИЕ!!! Если явно не указано иное, входные данные (исходный массив) и выходные данные (отсортированный массив) формировать в виде текстового файла, содержащего целые числа! Для всех заданий предварительно написать процедуру сортировки массива методом прямого включения. 1. Дан ряд, содержащий n элементов. Отсортировать их в порядке возрастания, отбрасывая при этом все повторяющиеся элементы. 2. Определить моду данного ряда – значение, встречающееся среди его элементов чаще всего. 3. Исходный набор данных представляет собой последовательность записей, состоящих из фамилии, возраста и стажа работы. Распечатать этот список: 1) в алфавитном порядке; 2) в порядке увеличения возраста; 3) в порядке увеличения стажа работы. 4. Написать процедуру сортировки по убыванию. 5. Дан ряд целых чисел. Получить в порядке возрастания все различные числа, входящие в этот ряд. 6. Дан ряд из n различных целых чисел. Получить различные целые числа такие, что

7. Даны целые Найти наибольшее значение в этой последовательности после выбрасывания из нее всех членов со значением

8. Даны натуральные

Числа – это измеренные в сотых долях секунды результаты n спортсменов в беге на 100 м. Составить команду из четырех лучших бегунов для участия в эстафете 4х100, т. е. указать одну из четверок натуральных чисел i, j, k, l такую, что сумма

имеет наименьшее значение. 9. Дано n независимых случайных точек, с координатами (xi; yi), равномерно распределенных в круге радиуса 1 с центром в начале координат. Напишите программу, располагающую точки в порядке возрастания расстояния от центра. 10. Даны n целых положительных двузначных чисел. Трактуя каждое число как пару цифр из интервала 0–9, отсортировать их (цифры) по возрастанию. 11. Дано n точек на плоскости. Указать (n-1)-звенную несамопересекающуюся замкнутую ломаную, проходящую через все эти точки. (Соседним отрезкам ломаной разрешается лежать на одной прямой.) Подсказка. Возьмем самую левую точку (т.е. точку с наименьшей x-координатой) и проведем из нее лучи во все остальные точки. Теперь упорядочим эти лучи снизу вверх, а точки на одном луче упорядочим по расстоянию от начала луча (это делается для всех лучей, кроме нижнего и верхнего). Ломаная выходит из выбранной (самой левой) точки по нижнему лучу, затем по всем остальным лучам (в описанном порядке) и возвращается по верхнему лучу. 12. Дано n точек на плоскости. Построить их выпуклую оболочку - минимальную выпуклую фигуру, их содержащую. (Резиновое колечко, натянутое на вбитые в доску гвозди - их выпуклая оболочка.) Указание. Упорядочим точки. Затем, рассматривая точки по очереди, будем строить выпуклую оболочку уже рассмотренных точек.

Для сортировки (упорядочения) по возрастанию или убыванию значений в массиве разработано множество методов [Вирт, Кнут. т 3].Рассмотрим три из них, считая, для определённости, что первые n, n=6, элементов массива Х

На каждом следующем i-том шаге, i=2, 3,…,n-1, значение из (i+1)-ой ячейки массива путем обмена положением с числом из предыдущей ячейки продвигают в сторону уменьшения индекса ячейки до тех пор, пока ни окажется, что в предыдущей ячейке находится меньшее число.

Из сказанного следует, что при реализации метода прямого включения внешний цикл должен выполняться n-1 раз, а максимально возможное число выполнений внутреннего цикла, в теле которого должны выполняться сравнения и перестановки чисел, будет увеличиваться от 1 до n-1. Однако внутренний цикл следует организовать так, чтобы он заканчивался или вообще не выполнялся при наступлении условия: значение в предыдущей ячейке массива меньше, чем в текущей.

В нашем примере:

При i=2 число 15 из ячейки Х 3 последовательно обменяется местами с числом 34 из ячейки Х 2 , а затем с числом 21 из ячейки Х 1 ,

При i=4 число 25 из ячейки Х 5 обменяется местами с числом 34 из ячейки Х 3 ,

Ниже представлен фрагмент программы упорядочения по возрастанию первых n элементов массива X методом прямоговключения (включения с сохранением упорядоченности) .

for i:=1 to n-1 do

while (X0) do
R:=X[j];
X[j]:=X;
X:=R;

Для упорядочения чисел в массиве по убыванию достаточно на каждом шаге изменить условие перестановки чисел в соседних ячейках массива на обратное, а именно, обмен значениями соседних ячеек выполнят в случае, когда предыдущее меньше текущего.

Метод прямого обмена (метод пузырька).

Этот метод, как и предыдущий, основан на обмене значениями соседних ячеек массива, но с первого же шага в последовательном анализе, при движении от одного конца массива к другому, участвуют все пары соседних ячеек массива.

На первом шаге последовательно, для j = n, n-1, …,2, сравниваются значения соседних ячеек массива, и при выполнении условия Х j <Х j-1 выполняется их перестановка, в результате чего наименьшее число оказывается в ячейке Х 1 .

В нашем примере после выполнения первого шага данные в массиве расположатся так:

На каждом следующем шаге число проверяемых пар ячеек будет уменьшаться на 1. В общем случае, на любом шаге i, i=1, 2, 3, …, n-1, процесс будет выполняться для j от n до i+1, в частности, при i= n-1 – только один раз для n-ой и (n-1)-вой ячеек.

Из сказанного следует, что при реализации метода прямого обмена внешний цикл должен выполняться n-1раз, а число выполнений внутреннего цикла, в теле которого должны выполняться сравнения и перестановки чисел, будет уменьшаться от n-1 до 1.

Происхождение термина “метод пузырька” объясняется так: если представить вертикальное расположение ячеек массива с ростом индекса сверху вниз, то самое маленькое число из рассматриваемых будет подниматься вверх подобно пузырьку в воде.

В нашем примере

При i=3 перестановки приведут к следующему состоянию массива

При использовании метода пузырька не имеет значения, в сторону увеличения или в сторону уменьшения индексов продвигается анализ пар чисел в массиве, а вид упорядочения (по возрастанию или убыванию) определяется только условием перестановки чисел (меньшее должно расположиться за большим или наоборот).

Модифицированный метод прямого обмена (модифицированный метод пузырька).

Как видно из приведенного выше числового примера массив оказался упорядоченным уже после четвёртого шага, то есть возможновыполнение внешнего цикла не n-1 раз, а меньше, когда станет известно, что массив уже упорядочен. Такая проверка основывается на следующем: если при выполнении внутреннего цикла не было ни одной перестановки, значит массив уже упорядочен и можно выйти из внешнего цикла. В качестве признака, выполнялась ли перестановка, используют переменную булевского типа: до входа во внутренний цикл ей дают одно значение, например, False, а при выполнении перестановки – другое, например, True.

Очевидно, эффект при использовании модифицированного метода пузырька по сравнению с не модифицированным методом в ускорении процесса сортировки будет наблюдаться, если исходная последовательность чисел близка к упорядоченности в нужном направлении. В предельном случае, когда массив уже упорядочен нужным образом тело внешнего цикла будет выполнено только один раз.