Три остроугольных треугольника. Треугольник. Полные уроки — Гипермаркет знаний

Самый простой многоугольник, который изучается в школе — это треугольник. Он более понятен для учащихся и встречает меньше трудностей. Несмотря на то что существуют различные виды треугольников, у которых имеются особенные свойства.

Какая фигура называется треугольником?

Образованная тремя точками и отрезками. Первые называются вершинами, вторые — сторонами. Причем все три отрезка должны быть соединены, чтобы между ними образовывались углы. Отсюда и название фигуры «треугольник».

Различия в названиях по углам

Поскольку они могут быть острыми, тупыми и прямыми, то и виды треугольников определяются по этим названиям. Соответственно, групп таких фигур три.

• Первая. Если все углы треугольника острые, то он будет иметь название остроугольного. Все логично.

• Вторая. Один из углов тупой, значит треугольник тупоугольный. Проще некуда.

• Третья. Имеется угол, равный 90 градусам, который называется прямым. Треугольник становится прямоугольным.

Различия в названиях по сторонам

В зависимости от особенностей сторон выделяют такие виды треугольников:

общий случай — разносторонний, в котором все стороны имеют произвольную длину;

равнобедренный, у двух сторон которого имеются одинаковые числовые значения;

равносторонний, длины всех его сторон одинаковые.

Если в задаче не указан конкретный вид треугольника, то нужно чертить произвольный. У которого все углы острые, а стороны имеют разную длину.

Свойства, общие для всех треугольников

1. Если сложить все углы треугольника, то получится число, равное 180º. И неважно, какого он вида. Это правило действует всегда.
2. Числовое значение любой стороны треугольника меньше, чем сложенные вместе две другие. При этом она же больше, чем их разность.
3. Каждый внешний угол имеет значение, которое получается при сложении двух внутренних, не смежных с ним. Причем он всегда больше, чем смежный с ним внутренний.
4. Напротив меньшей стороны треугольника всегда лежит самый маленький угол. И наоборот, если сторона большая, то и угол будет самым большим.

Эти свойства справедливы всегда, какие бы виды треугольников ни рассматривались в задачах. Все остальные вытекают из конкретных особенностей.

Свойства равнобедренного треугольника

• Углы, которые прилегают к основанию, равны.
• Высота, которая проведена к основанию, является также медианой и биссектрисой.
• Высоты, медианы и биссектрисы, которые построены к боковым сторонам треугольника, соответственно равны друг другу.

Свойства равностороннего треугольника

Если имеется такая фигура, то будут верны все свойства, описанные немного выше. Потому что равносторонний всегда будет равнобедренным. Но не наоборот, равнобедренный треугольник не обязательно будет равносторонним.

• Все его углы равны друг другу и имеют значение 60º.
• Любая медиана равностороннего треугольника является его высотой и биссектрисой. Причем они все равны друг другу. Для определения их значений существует формула, которая состоит из произведения стороны на квадратный корень из 3, деленного на 2.

Свойства прямоугольного треугольника

• Два острых угла дают в сумме значение в 90º.
• Длина гипотенузы всегда больше, чем у любого из катетов.
• Числовое значение медианы, проведенной к гипотенузе, равно ее половине.
• Этому же значению равен катет, если он лежит напротив угла в 30º.
• Высота, которая проведена из вершины со значением 90º, имеет определенную математическую зависимость от катетов: 1/н 2 = 1/а 2 + 1/в 2 . Здесь: а, в — катеты, н — высота.

Задачи с разными видами треугольников

№1. Дан равнобедренный треугольник. Его периметр известен и равен 90 см. Требуется узнать его стороны. В качестве дополнительного условия: боковая сторона меньше основания в 1,2 раза.

Значение периметра напрямую зависит от тех величин, которые нужно найти. Сумма всех трех сторон и даст 90 см. Теперь нужно вспомнить признак треугольника, по которому он является равнобедренным. То есть две стороны равны. Можно составить уравнение с двумя неизвестными: 2а + в = 90. Здесь а — боковая сторона, в — основание.

Настала очередь дополнительного условия. Следуя ему, получается второе уравнение: в = 1,2а. Можно выполнить подстановку этого выражения в первое. Получится: 2а + 1,2а = 90. После преобразований: 3,2а = 90. Отсюда а = 28,125 (см). Теперь несложно узнать основание. Лучше всего это сделать из второго условия: в = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).

Для проверки можно сложить три значения: 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (см). Все верно.

Ответ: стороны треугольника равны 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.

№2. Сторона равностороннего треугольника равна 12 см. Нужно вычислить его высоту.

Решение. Для поиска ответа достаточно вернуться к тому моменту, где были описаны свойства треугольника. Так указана формула для нахождения высоты, медианы и биссектрисы равностороннего треугольника.

н = а * √3 / 2, где н — высота, а — сторона.

Подстановка и вычисление дают такой результат: н = 6 √3 (см).

Эту формулу необязательно запоминать. Достаточно вспомнить, что высота делит треугольник на два прямоугольных. Причем она оказывается катетом, а гипотенуза в нем — это сторона исходного, второй катет — половина известной стороны. Теперь нужно записать теорему Пифагора и вывести формулу для высоты.

Ответ: высота равна 6 √3 см.

№3. Дан МКР — треугольник, 90 градусов в котором составляет угол К. Известны стороны МР и КР, они равны соответственно 30 и 15 см. Нужно узнать значение угла Р.

Решение. Если сделать чертеж, то становится ясно, что МР — гипотенуза. Причем она в два раза больше катета КР. Снова нужно обратиться к свойствам. Одно из них как раз связано с углами. Из него понятно, что угол КМР равен 30º. Значит искомый угол Р будет равен 60º. Это следует из другого свойства, которое утверждает, что сумма двух острых углов должна равняться 90º.

Ответ: угол Р равен 60º.

№4. Нужно найти все углы равнобедренного треугольника. Про него известно, что внешний угол от угла при основании равен 110º.

Решение. Поскольку дан только внешний угол, то этим и нужно воспользоваться. Он образует с внутренним углом развернутый. Значит в сумме они дадут 180º. То есть угол при основании треугольника будет равен 70º. Так как он равнобедренный, то второй угол имеет такое же значение. Осталось вычислить третий угол. По свойству, общему для всех треугольников, сумма углов равна 180º. Значит, третий определится как 180º - 70º - 70º = 40º.

Ответ: углы равны 70º, 70º, 40º.

№5. Известно, что в равнобедренном треугольнике угол, лежащий напротив основания, равен 90º. На основании отмечена точка. Отрезок, соединяющий ее с прямым углом, делит его в отношении 1 к 4. Нужно узнать все углы меньшего треугольника.

Решение. Один из углов можно определить сразу. Поскольку треугольник прямоугольный и равнобедренный, то те, что лежат у его основания, будут по 45º, то есть по 90º/2.

Второй из них поможет найти известное в условии отношение. Поскольку оно равно 1 к 4, то частей, на которые он делится получается всего 5. Значит, чтобы узнать меньший угол треугольника нужно 90º/5 = 18º. Осталось узнать третий. Для этого из 180º (суммы всех углов треугольника) нужно вычесть 45º и 18º. Вычисления несложные, и получится: 117º.

При изучении математики ученики начинаются знакомиться с различными видами геометрических фигур. Сегодня речь пойдет о различных видах треугольников.

Определение

Геометрические фигуры, которые состоят из трех точек, которые не находятся на одной прямой, называются треугольниками.

Отрезки, соединяющие точки, называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины обозначаются большими латинскими буквами, например: A, B, C.

Стороны обозначаются названиями двух точек, из которых они состоят – AB, BC, AC. Пересекаясь, стороны образуют углы. Нижняя сторона считается основанием фигуры.

Рис. 1. Треугольник ABC.

Виды треугольников

Треугольники классифицируют по углам и сторонам. Каждый из видов треугольника имеет свои свойства.

Существует три вида треугольников по углам:

• остроугольные;
• прямоугольные;
• тупоугольные.

Все углы остроугольного треугольника острые, то есть градусная мера каждого составляет не более 90 0 .

Прямоугольный треугольник содержит прямой угол. Два других угла всегда будут острыми, так как иначе сумма углов треугольника превысит 180 градусов, а это невозможно. Сторона, которая, находится напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие катетами. Гипотенуза всегда больше катета.

Тупоугольный треугольник содержит тупой угол. То есть угол, величиной больше 90 градусов. Два других угла в таком треугольника будут острыми.

Рис. 2. Виды треугольников по углам.

Пифагоровым треугольником называется прямоугольник, стороны которого равны 3, 4, 5.

Причем, большая сторона является гипотенузой.

Такие треугольники часто используются для составления простых задач в геометрии. Поэтому, запомните: если две стороны треугольника равны 3, то третья обязательно будет 5. Это упростит расчеты.

Виды треугольников по сторонам:

• равносторонние;
• равнобедренные;
• разносторонние.

Равносторонний треугольник – это треугольник, у которого все стороны равны. Все углы такого треугольника равны 60 0 , то есть он всегда является остроугольным.

Равнобедренный треугольник – треугольник, у которого только две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья – основанием. Кроме того, углы при основании равнобедренного треугольника равны и всегда являются острыми.

Разносторонним или произвольным треугольником называется треугольник, у которого все длины и все углы не равны между собой.

Если в задаче нет никаких уточнений по поводу фигуры, то принято считать, что речь идет о произвольном треугольнике.

Рис. 3. Виды треугольников по сторонам.

Сумма всех углов треугольника, независимо от его вида, равна 1800.

Напротив большего угла находится большая сторона. А также длина любой стороны всегда меньше суммы двух других его сторон. Эти свойства подтверждаются теоремой о неравенстве треугольника.

Существует понятие золотого треугольника. Это равнобедренный треугольник, у которого две боковые стороны пропорциональны основе и равны определенному числу. В такой фигуре углы пропорциональны соотношению 2:2:1.

Задача:

Существует ли треугольник, стороны которого равны 6 см., 3 см., 4 см.?

Решение:

Для решения данного задания нужно использовать неравенство a

Что мы узнали?

Из данного материала из курса математики 5 класса, мы узнали, что треугольники классифицируются по сторонам и величине углов. Треугольники имеют определенные свойства, которые можно использовать при решении заданий.

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют "простейший многоугольник" с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Но для того чтобы быть уверенным, что речь идет именно о законченной фигуре, а не о наборе отдельных вершин, необходимо проверить, чтобы соблюдалось основное условие: сумма углов тупоугольного треугольника равняется 180 о. Это же верно и для других видов фигур с тремя сторонами. Правда, в тупоугольном треугольнике один из углов будет еще больше 90 о, а два оставшихся обязательно будут острыми. При этом именно наибольший угол будет находиться напротив самой длинной стороны. Правда, это далеко не все свойства тупоугольного треугольника. Но и зная лишь эти особенности, школьники могут решать многие задачи по геометрии.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о.

Если даны определенные значения длин сторон или градусы углов, то чертить тупоугольный треугольник необходимо в соответствии с ними. При этом необходимо стараться максимально точно изобразить углы, высчитывая их при помощи транспортира, и пропорционально данным в задании условиям отобразить стороны.

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, каждому школьнику должно быть понятно определение биссектрисы, медианы, серединного перпендикуляра и высоты. Кроме того, он должен знать и их основные свойства.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону - на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2: 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр - это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном - за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R - это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о.

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p - это полупериметр треугольника, c, v, b - его стороны.

Из всех многоугольников треугольники имеют наименьшее количество углов и сторон.

Треугольники можно различать по виду их углов.

Есди все углы треугольника острые, то его называют остроугольным треугольником (рис. 113, а).

Если один из углов треугольника прямой, то его называют прямоугольным треугольником (рис. 113, б).

Если один из углов треугольника тупой, то его называют тупоугольным треугольником (рис. 113, в).

Говорят, что мы классифицировали треугольники по виду их углов.

Треугольники можно классифицировать не только по виду углов, но и по количеству равных сторон.

Если две стороны треугольника равны, то его называют равнобедренным треугольником.

На рисунке 114, а изображен равнобедренный треугольник ABC, у которого AB = BC. На рисунке равные стороны отмечают равным количеством черточек. Равные стороны AB и BC называют боковыми сторонами , а сторону AC − основанием равнобедренного треугольника ABC.

Если стороны треугольника равны, то его называют равносторонним треугольником.

Треугольник, изображенный на рисунке 114, б, − равносторонний, у него MN = NE = EM.

Треугольник, у которого три стороны имеют различную длину, называют разносторонним треугольником.

Треугольники, изображенные на рисунке 113, − разносторонние. Если сторона равностороннего треугольника равна a, то его периметр вычисляют по формуле:

P = 3 a

Пример 1 . С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 см и 2 см, а угол между ними − 50 °.

С помощью транспортира построим угол A, градусная мера которого 50 ° (рис. 115 ). На сторонах этого угла от его вершины с помощью линейки отложим отрезок AB длиной 3 см и отрезок AC длиной 2 см (рис. 116 ). Соединив отрезком точки B и C, получим искомый треугольник ABC (рис. 117 ).

Пример 2 . С помощью линейки и транспортира постройте треугольник ABC, сторона AB которого равна 2 см, а углы CAB и CBA соответственно равны 40 ° и 110 °.

Решение. С помощью линейки строим отрезок AB длиной 2 см (рис. 118 ). От луча AB с помощью транспортира откладываем угол с вершиной в точке A, градусная мера которого равна 40 °. От луча BA в ту же сторону от прямой AB, в которую был отложен первый угол, откладываем угол с вершиной в точке B, градусная мера которого равна 110 °(рис. 119 ).

Найдя точку C пересечения сторон углов A и B, получаем искомый треугольник ABC (рис. 120 ).

Задачи:

1. Познакомить учащихся с разными видами треугольников в зависимости от вида углов (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный). Учиться находить на чертежах треугольники и их виды. Закреплять основные геометрические понятия и их свойства: прямая линия, отрезок, луч, угол.

2. Развитие мышления, воображения, математической речи.

3. Воспитание внимания, активности.

Ход урока

I. Организационный момент.

Много ль надо нам, ребята,
Для умелых наших рук?
Нарисуем два квадрата,
А на них огромный круг.
А потом ещё кружочки,
Треугольник колпачок.
Вот и вышел очень - очень
Развесёлый Чудачок.

II. Объявление темы урока.

Сегодня на уроке мы с вами совершим путешествие по городу Геометрии и побываем в микрорайоне Треугольники (т.е. познакомимся с разными видами треугольников в зависимости от их углов, будем учиться находить эти треугольники на чертежах.) Проведём урок в форме “игры-соревнования” по командам.

1 команда - “Отрезок”.

2 команда - “Луч”.

3 команда - “Угол”.

А гости будут представлять жюри.

Жюри нас по пути направит

И без вниманья не оставит. (Оценивать по баллам 5,4,3,...).

А на чём же мы будем путешествовать по городу Геометрии? Вспомните, какие виды пассажирского транспорта есть в городе? Нас очень много, какой же мы выберем? (Автобус).

Автобус. Чётко, кратко. Начинается посадка.

Усаживаемся поудобнее и начнём наше путешествие. Капитаны команд получите билеты.

Но билеты эти непростые, а билеты - “задания”.

III. Повторение пройденного материала.

Первая остановка “ Повторяй-ка”.

Вопрос всем командам.

Найти на чертеже прямую линию и назвать её свойства.

Без конца и края линия прямая!
Хоть сто лет по ней иди,
Не найдёшь конца пути!

• Прямая не имеет ни начала, ни конца - она бесконечна, поэтому её измерить нельзя.

Начинаем наше соревнование.

Защита названий своих команд.

(Все команды читают первые вопросы и обсуждают. По очереди капитаны команд зачитывают вопросы, 1 команда читает 1 вопрос).

1. Показать на чертеже отрезок. Что называется отрезком. Назвать его свойства.

• Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком. У отрезка есть начало и конец, потому его можно измерить при помощи линейки.

(2 команда читает 1 вопрос).

1. Показать на чертеже луч. Что называется лучом. Назвать его свойства.

• Если отметить точку и из неё провести часть прямой, то получится изображение луча. Точка, из которой проведена часть прямой, называется началом луча.

Конца у луча нет, поэтому его измерить нельзя.

(3 команда читает 1 вопрос).

1 .Показать на чертеже угол. Что называется углом. Назвать его свойства.

• Проведя из одной точки два луча, получается геометрическая фигура, которая называется углом. У угла есть вершина, а сами лучи называются сторонами угла. Углы измеряются в градусах с помощью транспортира.

Физкультминутка (под музыку).

IV. Подготовка к изучению нового материала.

Вторая остановка “Сказочная”.

На прогулке Карандаш встретил разные углы. Хотел с ними поздороваться, да забыл, как зовут каждого из них. Придётся Карандашу помочь.

(Углы уч-ся проверяют с помощью модели прямого угла).

Задание командам. Прочитайте вопросы №2, обсудите.

1 команда читает 2 вопрос.

2. Найти прямой угол, дать определение.

• Угол величиной 90°называется прямым углом.

2 команда читает 2 вопрос.

2. Найти острый угол, дать определение.

• Угол меньше прямого, называется острым.

3 команда читает 2 вопрос.

2. Найти тупой угол, дать определение.

Угол больше прямого, называется тупым.

В микрорайоне, где любил гулять Карандаш, все углы отличались от других жителей тем, что гуляли всегда втроём, пили чай втроём, ходили в кино втроём. И Карандаш никак не мог понять, что за геометрическую фигуру вместе составляют три угла?

А подсказкой вам будет стихотворение.

Ты на меня, ты на него,
На всех нас посмотри.
У нас всего, у нас всего,
У нас всего по три!

О свойствах какой фигуры говорится?

• О треугольнике.

Какая же фигура называется треугольником?

• Треугольник - это геометрическая фигура, у которой три вершины, три угла, три стороны.

(Уч-ся показывают на чертеже треугольник, называют вершины, углы и стороны).

Вершины: А, В, С (точки)

Углы: ВАС, АВС, ВСА.

Стороны: АВ, ВС, СА (отрезки).

V. Физкультминутка:

8 раз ногою топнем,
9 раз руками хлопнем,
мы присядем 10 раз,
и наклонимся 6 раз,
мы подпрыгнем ровно
столько (показ треугольника)
Ай, да, счёт! Игра и только!

VI. Изучение нового материала.

Скоро углы подружились и стали неразлучны.

И теперь микрорайон мы будем так и называть: микрорайон Треугольники.

Третья остановка “Знайка”.

А как зовут эти треугольники?

Давайте дадим им имена. И попробуем сами сформулировать определение.

2. Найди треугольники разных видов

1 команда найдет и покажет тупоугольные треугольники.

2 команда найдёт и покажет прямоугольные треугольники.

3 команда найдёт и покажет остроугольные треугольники.

VIII. Следующая остановка “Соображай-ка”.

Задание всем командам.

Переложив 6 палочек, составьте из фонаря 4 равных треугольника.

Какие по виду углов получились треугольники? (Остроугольные).

IX. Итог урока.

В каком же микрорайоне мы с вами побывали?

С какими видами треугольников познакомились?