ماشین حساب انتگرال ها را با شرح اقدامات به صورت DETAIL به زبان روسی و به صورت رایگان حل می کند!

حل انتگرال نامعین

این یک سرویس آنلاین در یک قدم:

حل انتگرال های معین

این یک سرویس آنلاین در یک قدم:

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• یک حد پایین تر برای انتگرال وارد کنید
• یک حد بالایی برای انتگرال وارد کنید

حل انتگرال دوگانه

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید

حل انتگرال های نامناسب

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• ناحیه بالای ادغام (یا + بی نهایت) را وارد کنید
• ناحیه پایین ادغام (یا - بی نهایت) را وارد کنید

حل انتگرال های سه گانه

• عبارت انتگرال (تابع انتگرال) را وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای اولین منطقه ادغام وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای منطقه ادغام دوم وارد کنید
• حد پایین و بالایی را برای ناحیه سوم ادغام وارد کنید

این سرویس به شما امکان می دهد تا خود را بررسی کنید محاسباتبرای صحت

ممکن ها

• پشتیبانی از تمام توابع ریاضی ممکن: سینوس، کسینوس، توان، مماس، کوتانژانت، ریشه مربع و مکعب، توان، نمایی و غیره.
• مثال هایی برای ورودی وجود دارد، هم برای انتگرال های نامعین و هم برای انتگرال های نامناسب و معین.
• خطاهای عباراتی را که وارد می کنید تصحیح می کند و گزینه های خود را برای ورودی ارائه می دهد.
• حل عددی انتگرال های معین و نامناسب (شامل انتگرال های دوتایی و سه گانه).
• پشتیبانی از اعداد مختلط و همچنین پارامترهای مختلف (شما می توانید نه تنها متغیر ادغام، بلکه سایر متغیرهای پارامتر را در عبارت انتگرال مشخص کنید)

انتگرال نامعین.
نمونه راه حل های دقیق

در این درس ما شروع به مطالعه موضوع خواهیم کرد انتگرال نامعین، و همچنین نمونه هایی از راه حل های ساده ترین (و نه چندان ساده) انتگرال ها را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. در این مقاله من خودم را به حداقل تئوری محدود می کنم و اکنون وظیفه ما یادگیری نحوه حل انتگرال است.

برای تسلط موفقیت آمیز به مطالب چه چیزهایی باید بدانید؟ برای مقابله با حساب انتگرال، باید بتوانید مشتقات را حداقل در سطح متوسط ​​پیدا کنید. بنابراین، اگر مطالب راه اندازی شده است، توصیه می کنم ابتدا دروس را با دقت مطالعه کنید چگونه مشتق را پیدا کنیم؟و مشتق تابع مختلط. اگر چندین ده (ترجیحاً صد) مشتقات مستقل را در زیر کمربند خود پیدا کنید، هدر دادن تجربه نخواهد بود. حداقل، نباید با وظایفی که ساده‌ترین و رایج‌ترین عملکردها را از هم متمایز کنید، گیج شوید. به نظر می رسد، اگر مقاله در مورد انتگرال باشد، مشتقات چه ربطی به آن دارند؟! موضوع اینجاست. واقعیت این است که یافتن مشتقات و یافتن انتگرال های نامعین (تمایز و یکپارچگی) دو عمل معکوس متقابل هستند، مانند جمع/ تفریق یا ضرب/ تقسیم. بنابراین، بدون مهارت (+ مقداری تجربه) در یافتن مشتقات، متأسفانه، نمی توانید بیشتر پیشرفت کنید.

در این راستا به مطالب آموزشی زیر نیاز خواهیم داشت: جدول مشتقاتو جدول انتگرال ها. کتابچه راهنمای مرجع را می توان در صفحه باز، دانلود یا چاپ کرد فرمول ها و جداول ریاضی.

دشواری یادگیری انتگرال های نامعین چیست؟ اگر در مشتقات به شدت 5 قانون تمایز، جدول مشتقات و الگوریتم اقدامات نسبتاً واضح وجود داشته باشد، در انتگرال ها همه چیز متفاوت است. ده ها روش و تکنیک ادغام وجود دارد. و اگر روش ادغام در ابتدا اشتباه انتخاب شده باشد (یعنی شما نمی دانید چگونه حل کنید)، می توانید انتگرال را به معنای واقعی کلمه برای روزها، مانند یک پازل واقعی، "خارج" کنید، و سعی کنید تکنیک ها و ترفندهای مختلف را شناسایی کنید. حتی بعضی ها آن را دوست دارند. به هر حال ، این یک شوخی نیست ، من اغلب از دانش آموزان نظری مانند "من هرگز علاقه ای به حل یک حد یا مشتق نداشته ام ، اما انتگرال ها یک موضوع کاملاً متفاوت هستند ، جالب است ، همیشه میل به حل کردن آن وجود دارد. "هک" یک انتگرال پیچیده." متوقف کردن. طنز سیاه بس است، بیایید به سراغ این انتگرال های بسیار نامشخص برویم.

از آنجایی که راه های زیادی برای حل آن وجود دارد، پس مطالعه انتگرال های نامعین را برای یک قوری از کجا شروع کنیم؟ در حساب انتگرال، به نظر من، سه ستون یا نوعی «محور» وجود دارد که هر چیز دیگری حول آن می چرخد. اول از همه، شما باید درک خوبی از ساده ترین انتگرال ها داشته باشید (این مقاله). سپس باید درس را با جزئیات کار کنید. این مهم ترین تکنیک است! شاید حتی مهمترین مقاله از تمام مقالات من در مورد انتگرال ها باشد. و ثالثاً باید حتماً خود را با روش یکپارچه سازی توسط قطعات آشنا کنید زیرا می توان از آن برای ادغام کلاس گسترده ای از توابع استفاده کرد. اگر حداقل به این سه درس تسلط داشته باشید، دیگر دو درس نخواهید داشت. انتگرال ها از توابع مثلثاتی، انتگرال ها از کسر، انتگرال ها از توابع کسری-گویا، انتگرال ها از توابع غیرمنطقی (ریشه ها) ممکن است شما را ببخشند، اما اگر در روش جایگزینی یا روش انتگرال گیری توسط قطعات گیر کردید، آن وقت است. بسیار بسیار بد خواهد بود

دموتیواتورها اکنون در RuNet بسیار رایج هستند. در چارچوب مطالعه انتگرال ها، برعکس، به سادگی لازم است محرک. مانند آن شوخی در مورد واسیلی ایوانوویچ، که هم به پتکا و هم آنکا انگیزه داد. تنبل ها، مفت خورها و سایر دانش آموزان عادی، حتما مطالب زیر را مطالعه کنید. دانش و مهارت در مورد انتگرال نامعین در مطالعات بعدی، به ویژه هنگام مطالعه انتگرال معین، انتگرال نامناسب و معادلات دیفرانسیل در سال دوم مورد نیاز خواهد بود. نیاز به گرفتن انتگرال حتی در تئوری احتمال بوجود می آید! بدین ترتیب، بدون انتگرال، مسیر جلسه تابستانی و سال دوم واقعاً بسته خواهد شد. جدی میگم نتیجه گیری این است. هرچه انتگرال های بیشتری از انواع مختلف حل کنید، زندگی آینده شما آسان تر خواهد بود.. بله، زمان زیادی طول می کشد، بله، گاهی اوقات شما نمی خواهید، بله، گاهی اوقات "به جهنم، با این انتگرال، شاید گرفتار نشوید." اما فکر بعدی باید روح شما را الهام بخشد و گرم کند؛ تلاش شما به طور کامل نتیجه خواهد داد! شما قادر خواهید بود معادلات دیفرانسیل را مانند مهره ها بشکنید و به راحتی با انتگرال هایی که در سایر بخش های ریاضیات بالاتر با آنها مواجه خواهید شد، مقابله کنید. با درک کامل انتگرال نامعین، در واقع بر چندین بخش دیگر از برج تسلط خواهید داشت.

و بنابراین نمی‌توانستم کاری نکنم که خلق کنم دوره فشردهدر مورد تکنیک ادغام، که معلوم شد به طرز شگفت آوری کوتاه است - کسانی که مایلند می توانند از کتاب pdf استفاده کنند و خیلی سریع آماده شوند. اما مطالب موجود در سایت به هیچ وجه بدتر نیست!

بنابراین، بیایید ساده شروع کنیم. بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم. همانند مشتقات، چندین قانون ادغام و جدولی از انتگرال های برخی از توابع ابتدایی را مشاهده می کنیم. به راحتی می توان فهمید که هر انتگرال جدولی (و در واقع هر انتگرال نامعین) دارای شکل زیر است:

بیایید بلافاصله نمادها و اصطلاحات را درک کنیم:

- نماد یکپارچه

- تابع انتگرال (نوشته شده با حرف "s").

- نماد دیفرانسیل هنگام نوشتن انتگرال و در حین حل، مهم است که این نماد را از دست ندهید. یک نقص قابل توجه وجود خواهد داشت.

- بیان انتگرال یا "پر کردن" انتگرال.

– تابع ضد مشتق.

- بسیاری از توابع اصلی. نیازی به بارگذاری شدید عبارت نیست، مهم‌ترین چیز این است که در هر انتگرال نامعین یک ثابت به پاسخ اضافه می‌شود.

حل یک انتگرال به معنای یافتن یک تابع خاص با استفاده از قوانین، تکنیک ها و جدول است.

بیایید دوباره به ورودی نگاه کنیم:

بیایید به جدول انتگرال ها نگاه کنیم.

چه اتفاقی می افتد؟ ما قسمت های سمت چپ را داریم تبدیل شدن بهبه توابع دیگر: .

بیایید تعریف خود را ساده کنیم.

حل یک انتگرال نامعین به معنای تبدیل آن به یک تابع معین با استفاده از قوانین، تکنیک ها و جدول است.

برای مثال انتگرال جدول را در نظر بگیرید . چی شد؟ به یک تابع تبدیل شده است.

همانطور که در مورد مشتقات، برای یادگیری نحوه یافتن انتگرال ها، نیازی به آگاهی از انتگرال چیست، یک تابع ضد مشتق از دیدگاه نظری. کافی است به سادگی تغییراتی را طبق برخی قوانین رسمی انجام دهیم. بنابراین، در صورت درک اینکه چرا انتگرال به انتگرال تبدیل می شود اصلاً ضروری نیست. در حال حاضر، می‌توانیم این فرمول و سایر فرمول‌ها را بدیهی بدانیم. همه از الکتریسیته استفاده می کنند، اما تعداد کمی از مردم به نحوه حرکت الکترون ها از طریق سیم ها فکر می کنند.

از آنجایی که تمایز و ادغام عملیات متضاد هستند، پس برای هر ضد مشتقی که یافت می شود درست، موارد زیر صحیح است:

به عبارت دیگر، اگر پاسخ صحیح را متمایز کنید، باید تابع انتگرال اصلی را دریافت کنید.

بیایید به همان انتگرال جدول برگردیم .

اجازه دهید اعتبار این فرمول را بررسی کنیم. مشتق سمت راست را می گیریم:

تابع انتگرال اصلی است.

به هر حال، واضح تر شده است که چرا یک ثابت همیشه به یک تابع اختصاص داده می شود. هنگامی که متمایز می شود، ثابت همیشه به صفر تبدیل می شود.

حل انتگرال نامعین- یعنی پیدا کردن یک دسته از هر کسضد مشتقات، و نه فقط یک تابع. در مثال جدول مورد بررسی،،،، و غیره - همه این توابع راه حل هایی برای انتگرال هستند. راه حل های بی نهایت زیادی وجود دارد، بنابراین به طور خلاصه آن را می نویسیم:

بنابراین، بررسی هر انتگرال نامعین بسیار آسان است (برخلاف مشتقات، که در آن یک بررسی خوب فقط با استفاده از برنامه های ریاضی انجام می شود). این مقداری جبران برای تعداد زیادی انتگرال از انواع مختلف است.

بیایید به بررسی مثال های خاص بپردازیم. بیایید شروع کنیم، همانطور که در مطالعه مشتق،
با دو قانون ادغام، همچنین نامیده می شود ویژگی های خطی انتگرال نامعین:

- عامل ثابت را می توان (و باید) از علامت انتگرال خارج کرد.

– انتگرال مجموع جبری دو تابع برابر است با مجموع جبری دو انتگرال هر تابع به طور جداگانه. این ویژگی برای هر تعداد عبارت صادق است.

همانطور که می بینید، قوانین اساساً مانند مشتقات است.

مثال 1

راه حل: بازنویسی آن روی کاغذ راحت تر است.

(1) قانون را اعمال کنید . فراموش نکنید که نماد دیفرانسیل را زیر هر انتگرال بنویسید. چرا زیر هر کدام؟ - این یک ضریب کامل است، اگر راه حل را با جزئیات توضیح دهیم، اولین مرحله باید به این صورت نوشته شود:

(2) طبق قاعده ، همه ثابت ها را خارج از علائم انتگرال می گیریم. لطفاً توجه داشته باشید که آخرین ترم ثابت است، ما آن را نیز خارج می کنیم.
علاوه بر این، در این مرحله ما ریشه ها و قدرت ها را برای یکپارچگی آماده می کنیم. همانند تمایز، ریشه ها باید به شکل نمایش داده شوند. ریشه ها و قدرت هایی را که در مخرج قرار دارند به سمت بالا حرکت دهید.

! نکته: بر خلاف مشتقات، ریشه در انتگرال ها نباید همیشه به شکل کاهش یابد، بلکه درجات باید به سمت بالا منتقل شوند. به عنوان مثال، این یک انتگرال جدول آماده است، و انواع ترفندهای چینی مانند کاملا غیر ضروری به طور مشابه: - همچنین یک انتگرال جدولی، نشان دادن کسری به شکل فایده ای ندارد. جدول را با دقت مطالعه کنید!

(3) همه انتگرال های ما جدولی هستند. ما تبدیل را با استفاده از یک جدول با استفاده از فرمول ها انجام می دهیم: , و .
من به فرمول ادغام یک تابع توان توجه ویژه ای دارم ، اغلب اتفاق می افتد، بهتر است آن را به خاطر بسپارید. لازم به ذکر است که انتگرال جدول یک مورد خاص از همان فرمول است: .
کافی است ثابت را یک بار در انتهای عبارت اضافه کنید (و بعد از هر انتگرال قرار ندهید).
(4) نتیجه به دست آمده را به شکل فشرده تر می نویسیم، همه توان های فرم دوباره به صورت ریشه نشان داده می شوند، قدرت های با توان منفی به مخرج بازنشانی می شوند.

معاینه. برای انجام بررسی، باید پاسخ دریافتی را متمایز کنید:

اصل را دریافت کرد یکپارچه، یعنی انتگرال به درستی پیدا شده است. آنچه از آن رقصیدند همان چیزی است که به آن بازگشتند. می دانید، خیلی خوب است که داستانی با یک انتگرال به این شکل تمام شود.

گاه به گاه رویکرد کمی متفاوت برای بررسی انتگرال نامعین وجود دارد؛ نه مشتق، بلکه دیفرانسیل از پاسخ گرفته می شود:

آنهایی که از ترم اول فهمیدند، فهمیدند، اما اکنون آنچه برای ما مهم است ظرافت های نظری نیست، بلکه مهم این است که با این تفاضل چه کار کنیم. باید آشکار شود، و از نقطه نظر فنی رسمی، این تقریباً مشابه یافتن یک مشتق است. دیفرانسیل به صورت زیر آشکار می شود: نماد را حذف می کنیم، یک ضربه در سمت راست بالای براکت قرار می دهیم و یک فاکتور به انتهای عبارت اضافه می کنیم:

اصل دریافت کرد یکپارچه، یعنی انتگرال به درستی پیدا شده است.

من روش دوم بررسی را کمتر دوست دارم، زیرا باید علاوه بر این باید براکت های بزرگ بکشم و نماد دیفرانسیل را تا پایان بررسی بکشم. اگر چه درست تر یا «محترم تر» یا چیزی شبیه به آن است.

در واقع، من می توانستم در مورد روش تأیید دوم به طور کلی سکوت کنم. نکته در روش نیست، بلکه در این است که ما یاد گرفته ایم دیفرانسیل را باز کنیم. از نو.

دیفرانسیل به شرح زیر آشکار می شود:

1) نماد را حذف کنید.
2) در سمت راست بالای براکت یک سکته مغزی (نشان مشتق) قرار می دهیم.
3) در پایان عبارت یک فاکتور اختصاص می دهیم.

مثلا:

این را به خاطر بسپار. ما خیلی زود به این تکنیک نیاز خواهیم داشت.

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

وقتی یک انتگرال نامعین پیدا می کنیم، همیشه سعی می کنیم بررسی کنیمعلاوه بر این، یک فرصت عالی برای این وجود دارد. همه انواع مسائل در ریاضیات عالی از این نظر هدیه نیستند. مهم نیست که چک کردن اغلب در کارهای کنترلی مورد نیاز نیست؛ هیچ کس و هیچ چیز مانع از انجام آن در پیش نویس نمی شود. تنها زمانی می توان استثنا قائل شد که زمان کافی وجود نداشته باشد (مثلاً در طول آزمون یا امتحان). من شخصاً همیشه انتگرال ها را بررسی می کنم و عدم بررسی را یک کار هک و یک کار ضعیف می دانم.

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

راه حل: با تجزیه و تحلیل انتگرال، می بینیم که حاصل ضرب دو تابع و حتی توان یک عبارت کامل را داریم. متاسفانه در زمینه نبرد انتگرال هیچ فرمول خوب و مناسبی برای ادغام محصول و ویژگی خاص وجود ندارد. , .

و بنابراین، هنگامی که یک محصول یا ضریب داده می شود، همیشه منطقی است که ببینیم آیا امکان تبدیل انتگرال به مجموع وجود دارد؟

مثال مورد بررسی در صورت امکان است. ابتدا راه حل کامل را می دهم، نظرات در زیر خواهد بود.

(1) از فرمول خوب قدیمی مجذور مجموع برای خلاص شدن از درجه استفاده می کنیم.

(2) ما آن را در پرانتز قرار می دهیم و از شر محصول خلاص می شویم.

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. پاسخ و راه حل کامل در انتهای درس آمده است.

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

در این مثال، انتگرال یک کسری است. وقتی کسری را در انتگرال می بینیم، اولین فکر باید این سوال باشد: آیا می توان به نحوی از شر این کسر خلاص شد یا حداقل آن را ساده کرد؟

متوجه می شویم که مخرج دارای یک ریشه واحد از "X" است. یکی در میدان جنگجو نیست، به این معنی که ما می توانیم صورت را بر مخرج ترم تقسیم کنیم:

من در مورد اقدامات با توان کسری اظهار نظر نمی کنم، زیرا آنها بارها در مقالات مربوط به مشتق یک تابع مورد بحث قرار گرفته اند. اگر هنوز با مثالی مانند گیج هستید و هنوز نمی توانید پاسخ صحیح را دریافت کنید، توصیه می کنم به کتاب های درسی مدرسه مراجعه کنید. در ریاضیات بالاتر، در هر مرحله با کسرها و عملیات با آنها مواجه می شویم.

همچنین توجه داشته باشید که راه حل یک مرحله از دست رفته است، یعنی اعمال قوانین , . معمولاً حتی در طول تجربه اولیه حل انتگرال ها، این ویژگی ها بدیهی تلقی می شوند و به تفصیل توضیح داده نمی شوند.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید. بررسی را انجام دهید.

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. پاسخ و راه حل کامل در انتهای درس آمده است.

در حالت کلی، با کسری در انتگرال، همه چیز به این سادگی نیست؛ مطالب اضافی در مورد ادغام کسرهای برخی از انواع را می توان در مقاله یافت. ادغام برخی کسری ها.

! اما، قبل از رفتن به مقاله بالا، باید با درس آشنا شوید روش جایگزینی در انتگرال نامعین. نکته این است که قرار دادن یک تابع تحت یک روش جایگزینی دیفرانسیل یا متغیر است نقطه کلیدیدر مطالعه موضوع، زیرا نه تنها "در وظایف خالص در روش جایگزینی"، بلکه در بسیاری از انواع دیگر انتگرال ها نیز یافت می شود.

من واقعاً می خواستم چند مثال دیگر را در این درس قرار دهم، اما اکنون اینجا نشسته ام، این متن را در Verde تایپ می کنم و متوجه می شوم که مقاله قبلاً به اندازه مناسبی رسیده است.
و بنابراین، دوره مقدماتی انتگرال برای آدمک ها به پایان رسیده است.

آرزو می کنم موفق شوی!

راه حل ها و پاسخ ها:

مثال 2: راه حل:

مثال 4: راه حل:

در این مثال از فرمول ضرب اختصاری استفاده کردیم

مثال 6: راه حل:

من چک را تکمیل کردم، و شما؟ ;)

یافتن انتگرال نامعین یک مشکل بسیار رایج در ریاضیات عالی و سایر شاخه های فنی علوم است. حتی ساده ترین مسائل فیزیکی را نمی توان بدون محاسبه چندین انتگرال ساده حل کرد. بنابراین، از سن مدرسه به ما تکنیک ها و روش های حل انتگرال ها آموزش داده می شود؛ جداول متعددی با انتگرال هایی از ساده ترین توابع ارائه شده است. با این حال، با گذشت زمان، همه اینها با خیال راحت فراموش می شوند، یا زمان کافی برای محاسبات نداریم یا نیاز داریم راه حل انتگرال نامعین را پیدا کنیداز یک تابع بسیار پیچیده برای حل این مشکلات، خدمات ما برای شما ضروری خواهد بود و به شما این امکان را می دهد که به صورت آنلاین انتگرال نامشخص را پیدا کنید.

حل انتگرال نامعین

خدمات آنلاین در سایت اینترنتیبه شما امکان می دهد پیدا کنید حل انتگرال آنلاینسریع، رایگان و با کیفیت بالا. می توانید جستجو در جداول انتگرال مورد نیاز را با سرویس ما جایگزین کنید، جایی که با وارد کردن سریع تابع مورد نظر، راه حلی برای انتگرال نامشخص در نسخه جدولی دریافت خواهید کرد. همه سایت های ریاضی قادر به محاسبه سریع و کارآمد انتگرال های نامحدود توابع آنلاین نیستند، به خصوص اگر نیاز به پیدا کردن انتگرال نامعیناز یک تابع پیچیده یا توابعی از این قبیل که در درس عمومی ریاضیات عالی گنجانده نشده است. سایت اینترنتی سایت اینترنتیکمک خواهد کرد حل انتگرال آنلاین و با وظیفه کنار بیایند. با استفاده از راه حل آنلاین انتگرال در وب سایت، همیشه پاسخ دقیق را دریافت خواهید کرد.

حتی اگر می‌خواهید انتگرال را خودتان محاسبه کنید، به لطف خدمات ما، بررسی پاسخ، یافتن اشتباه یا اشتباه تایپی یا اطمینان از اینکه کار بدون نقص انجام شده است برای شما آسان خواهد بود. اگر مشکلی را حل می کنید و باید انتگرال نامعین را به عنوان یک عمل کمکی محاسبه کنید، پس چرا وقت خود را برای این اقداماتی که ممکن است هزاران بار انجام داده اید تلف کنید؟ علاوه بر این، محاسبات اضافی انتگرال ممکن است دلیل یک اشتباه تایپی یا یک خطای کوچک باشد که متعاقباً منجر به پاسخ نادرست شد. فقط از خدمات ما استفاده کنید و پیدا کنید انتگرال نامعین آنلاینبدون هیچ تلاشی برای مشکلات عملی یافتن انتگرالکارکرد برخطاین سرور بسیار مفید است. شما باید تابع داده شده را وارد کنید، دریافت کنید راه حل آنلاین انتگرال نامعینو جواب را با راه حل خود مقایسه کنید.

انتگرال های مختلط

این مقاله موضوع انتگرال های نامعین را به پایان می رساند و شامل انتگرال هایی می شود که به نظر من کاملاً پیچیده هستند. این درس به درخواست های مکرر بازدیدکنندگانی ایجاد شد که آرزوی خود را داشتند که نمونه های دشوارتر در سایت تجزیه و تحلیل شوند.

فرض بر این است که خواننده این متن به خوبی آماده است و می داند که چگونه از تکنیک های یکپارچه سازی اولیه استفاده کند. آدمک ها و افرادی که خیلی به انتگرال ها اطمینان ندارند باید به اولین درس مراجعه کنند - انتگرال نامعین. نمونه هایی از راه حل ها، جایی که می توانید تقریباً از ابتدا به موضوع مسلط شوید. دانش آموزان با تجربه تر می توانند با تکنیک ها و روش های ادغام که هنوز در مقالات من با آنها برخورد نشده است آشنا شوند.

چه انتگرال هایی در نظر گرفته خواهند شد؟

ابتدا انتگرال هایی را با ریشه در نظر می گیریم که برای حل آنها به طور متوالی از آنها استفاده می کنیم جایگزینی متغیرو یکپارچه سازی توسط قطعات. یعنی در یک مثال دو تکنیک همزمان با هم ترکیب شده اند. و حتی بیشتر.

سپس با جالب و اصلی آشنا می شویم روش کاهش انتگرال به خودش. تعداد زیادی انتگرال از این طریق حل می شوند.

شماره سوم این برنامه انتگرال کسری های پیچیده است که در مقالات قبلی از پشت میز پول عبور کردند.

چهارم، انتگرال های اضافی از توابع مثلثاتی تحلیل خواهند شد. به طور خاص، روش هایی وجود دارد که از جایگزینی مثلثاتی جهانی زمان بر جلوگیری می کند.

(2) در تابع انتگرال، صورت را بر مخرج جمله بر جمله تقسیم می کنیم.

(3) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم. در آخرین انتگرال بلافاصله تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار دهید.

(4) انتگرال های باقی مانده را می گیریم. توجه داشته باشید که در لگاریتم می توانید از پرانتز به جای مدول استفاده کنید، زیرا .

(5) ما یک جایگزین معکوس انجام می دهیم و "te" را از جایگزینی مستقیم بیان می کنیم:

دانش‌آموزان مازوخیست می‌توانند پاسخ را متمایز کنند و انتگرال اصلی را دریافت کنند، همانطور که من انجام دادم. نه، نه، من چک را به معنای درست انجام دادم =)

همانطور که می بینید، در حین حل ما مجبور بودیم از بیش از دو روش راه حل استفاده کنیم، بنابراین برای مقابله با چنین انتگرال هایی به مهارت های یکپارچه سازی مطمئن و کمی تجربه نیاز دارید.

البته در عمل، جذر بیشتر متداول است؛ در اینجا سه ​​مثال برای حل خودتان آورده شده است:

مثال 2

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 3

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 4

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این مثال ها از یک نوع هستند، بنابراین راه حل کامل در پایان مقاله فقط برای مثال 2 خواهد بود؛ مثال های 3-4 پاسخ های یکسانی دارند. فکر می کنم از کدام جایگزین در ابتدای تصمیم گیری ها استفاده شود بدیهی است. چرا نمونه هایی از همین نوع را انتخاب کردم؟ اغلب در نقش آنها یافت می شود. اغلب، شاید، فقط چیزی شبیه به .

اما نه همیشه، وقتی در زیر توابع متقاطع، سینوسی، کسینوس، نمایی و سایر توابع ریشه یک تابع خطی وجود دارد، باید از چندین روش به طور همزمان استفاده کنید. در تعدادی از موارد، می توان "به راحتی کنار رفت"، یعنی بلافاصله پس از تعویض، یک انتگرال ساده به دست می آید که می توان آن را به راحتی گرفت. ساده ترین کار ارائه شده در بالا، مثال 4 است که در آن، پس از جایگزینی، یک انتگرال نسبتاً ساده به دست می آید.

با تقلیل انتگرال به خودش

روشی هوشمندانه و زیبا. بیایید نگاهی به کلاسیک های این ژانر بیندازیم:

مثال 5

انتگرال نامعین را پیدا کنید

زیر ریشه یک دوجمله‌ای درجه دوم وجود دارد و تلاش برای ادغام این مثال می‌تواند ساعت‌ها سردرد را به قوری بدهد. چنین انتگرالی در قطعات گرفته می شود و به خود کاهش می یابد. در اصل، سخت نیست. اگر می دانید چگونه.

اجازه دهید انتگرال مورد نظر را با یک حرف لاتین نشان دهیم و راه حل را شروع کنیم:

بیایید با قطعات ادغام کنیم:

(1) تابع انتگرال را برای تقسیم ترم به ترم آماده کنید.

(2) تابع انتگرال را بر ترم تقسیم می کنیم. ممکن است برای همه روشن نباشد، اما من آن را با جزئیات بیشتر توضیح می دهم:

(3) از ویژگی خطی بودن انتگرال نامعین استفاده می کنیم.

(4) آخرین انتگرال را بگیرید (لگاریتم "طولانی").

حالا بیایید به همان ابتدای راه حل نگاه کنیم:

و تا آخر:

چی شد؟ در نتیجه دستکاری های ما، انتگرال به خودش کاهش یافت!

ابتدا و انتها را با هم برابر می کنیم:

با تغییر علامت به سمت چپ حرکت کنید:

و آن دو را به سمت راست حرکت می دهیم. در نتیجه:

ثابت، به طور دقیق، باید زودتر اضافه می شد، اما من آن را در پایان اضافه کردم. اکیداً توصیه می‌کنم که دقت را در اینجا بخوانید:

توجه داشته باشید: به طور دقیق تر، مرحله نهایی راه حل به صورت زیر است:

بدین ترتیب:

ثابت را می توان توسط . چرا می توان آن را دوباره طراحی کرد؟ چون هنوز هم قبول دارد هرمقادیر، و از این نظر هیچ تفاوتی بین ثابت و.
در نتیجه:

ترفند مشابهی با تغییر نام ثابت به طور گسترده در این مورد استفاده می شود معادلات دیفرانسیل. و در آنجا سختگیر خواهم بود. و در اینجا من چنین آزادی را فقط برای این که شما را با چیزهای غیر ضروری اشتباه نگیریم و توجه را دقیقاً بر روی خود روش ادغام متمرکز کنم اجازه می دهم.

مثال 6

انتگرال نامعین را پیدا کنید

یک انتگرال معمولی دیگر برای راه حل مستقل. حل کامل و پاسخ در پایان درس. با جواب مثال قبلی تفاوت خواهد داشت!

اگر در زیر ریشه مربع یک مثلث مربع وجود داشته باشد، در هر صورت راه حل به دو مثال تجزیه و تحلیل شده می رسد.

به عنوان مثال، انتگرال را در نظر بگیرید . تنها کاری که باید انجام دهید این است که ابتدا یک مربع کامل را انتخاب کنید:
.
بعد، یک جایگزین خطی انجام می شود که "بدون هیچ عواقبی" انجام می شود:
، که منجر به انتگرال می شود. یک چیز آشنا، درست است؟

یا این مثال، با یک دو جمله ای درجه دوم:
یک مربع کامل را انتخاب کنید:
و پس از جایگزینی خطی، انتگرال را به دست می آوریم که با استفاده از الگوریتمی که قبلاً توضیح داده شد حل می شود.

بیایید به دو مثال معمولی دیگر از چگونگی کاهش یک انتگرال به خود نگاه کنیم:
- انتگرال نمایی ضرب در سینوس.
- انتگرال نمایی ضرب در کسینوس.

در انتگرال های فهرست شده بر اساس قطعات، باید دو بار ادغام کنید:

مثال 7

انتگرال نامعین را پیدا کنید

انتگرال نمایی ضرب در سینوس است.

ما توسط قطعات دو بار ادغام می کنیم و انتگرال را به خودش کاهش می دهیم:

در نتیجه ادغام مضاعف توسط قطعات، انتگرال به خود کاهش یافت. ابتدا و انتهای راه حل را برابر می کنیم:

با تغییر علامت آن را به سمت چپ حرکت می دهیم و انتگرال خود را بیان می کنیم:

آماده. در عین حال، توصیه می شود سمت راست را شانه کنید، یعنی. نما را از پرانتز خارج کنید و سینوس و کسینوس را به ترتیب "زیبا" در پرانتز قرار دهید.

حالا بیایید به ابتدای مثال، یا به طور دقیق تر، به ادغام بر اساس قطعات برگردیم:

ما نشانگر را به عنوان تعیین کردیم. این سوال مطرح می شود: آیا این توانی است که همیشه باید با آن نشان داده شود؟ لازم نیست. در واقع، در انتگرال در نظر گرفته شده است اساسا مهم نیست، منظور ما از چیست، می توانستیم راه دیگری را پیش ببریم:

چرا این امکان وجود دارد؟ از آنجا که نمایی به خود تبدیل می شود (هم در حین تمایز و هم در حین ادغام)، سینوس و کسینوس متقابلاً به یکدیگر تبدیل می شوند (دوباره، هم در حین تمایز و هم در حین ادغام).

یعنی می توانیم تابع مثلثاتی را هم نشان دهیم. اما، در مثال در نظر گرفته شده، این کمتر منطقی است، زیرا کسری ظاهر می شود. در صورت تمایل می توانید با استفاده از روش دوم این مثال را حل کنید؛ پاسخ ها باید مطابقت داشته باشند.

مثال 8

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. قبل از اینکه تصمیم بگیرید، به این فکر کنید که در این مورد چه چیزی برای تعیین به عنوان یک تابع نمایی یا مثلثاتی سودمندتر است؟ حل کامل و پاسخ در پایان درس.

و البته فراموش نکنید که اکثر پاسخ‌های این درس با تمایز قابل بررسی هستند!

نمونه های در نظر گرفته شده پیچیده ترین نبودند. در عمل، انتگرال ها در جایی که ثابت هم در توان و هم در آرگومان تابع مثلثاتی باشد، رایج ترند، به عنوان مثال: . بسیاری از مردم در چنین انتگرالی گیج می شوند و من اغلب خودم گیج می شوم. واقعیت این است که احتمال ظاهر شدن کسری در محلول زیاد است و از دست دادن چیزی در اثر بی دقتی بسیار آسان است. علاوه بر این، احتمال خطا در علائم زیاد است؛ توجه داشته باشید که توان دارای علامت منفی است و این باعث ایجاد مشکل اضافی می شود.

در مرحله نهایی، نتیجه اغلب چیزی شبیه به این است:

حتی در پایان راه حل، باید بسیار مراقب باشید و کسرها را به درستی درک کنید:

ادغام کسرهای مختلط

کم کم داریم به خط استوای درس نزدیک می شویم و شروع به در نظر گرفتن انتگرال کسری می کنیم. باز هم، همه آنها فوق العاده پیچیده نیستند، فقط به این دلیل است که نمونه ها در مقالات دیگر کمی "خارج از موضوع" بودند.

ادامه موضوع ریشه ها

مثال 9

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در مخرج زیر ریشه یک مثلث درجه دوم به اضافه یک "ضمیمه" به شکل "X" در خارج از ریشه وجود دارد. یک انتگرال از این نوع را می توان با استفاده از یک جایگزین استاندارد حل کرد.

ما تصمیم گرفتیم:

جایگزینی در اینجا ساده است:

بیایید به زندگی پس از جایگزینی نگاه کنیم:

(1) پس از جایگزینی، اصطلاحات زیر ریشه را به یک مخرج مشترک کاهش می دهیم.
(2) آن را از زیر ریشه بیرون می آوریم.
(3) صورت و مخرج کاهش می یابد. در همان زمان، در زیر ریشه، من شرایط را به ترتیبی راحت مرتب کردم. با کمی تجربه، مراحل (1)، (2) را می توان با انجام اعمال نظر شفاهی نادیده گرفت.
(4) انتگرال حاصل، همانطور که از درس به یاد دارید ادغام برخی کسری ها، در حال تصمیم گیری است روش استخراج مربع کامل. یک مربع کامل انتخاب کنید.
(5) با ادغام یک لگاریتم "طولانی" معمولی بدست می آوریم.
(6) ما جایگزینی معکوس را انجام می دهیم. اگر در ابتدا، سپس بازگشت: .
(7) عمل نهایی با هدف صاف کردن نتیجه است: در زیر ریشه دوباره شرایط را به مخرج مشترک می آوریم و آنها را از زیر ریشه خارج می کنیم.

مثال 10

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. در اینجا یک ثابت به تنها "X" اضافه می شود و جایگزینی تقریباً یکسان است:

تنها کاری که باید انجام دهید این است که "x" را از جایگزینی در حال انجام بیان کنید:

حل کامل و پاسخ در پایان درس.

گاهی اوقات در چنین انتگرالی ممکن است یک دو جمله ای درجه دوم در زیر ریشه وجود داشته باشد، این روش حل را تغییر نمی دهد، حتی ساده تر خواهد بود. تفاوت را احساس کنید:

مثال 11

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 12

انتگرال نامعین را پیدا کنید

راه حل ها و پاسخ های مختصر در پایان درس. لازم به ذکر است که مثال 11 دقیقا می باشد انتگرال دو جمله ای، که روش حل آن در کلاس مورد بحث قرار گرفت انتگرال توابع غیر منطقی.

انتگرال یک چند جمله ای تجزیه ناپذیر درجه 2 به توان

(چند جمله ای در مخرج)

یک نوع نادرتر از انتگرال، اما با این وجود در نمونه های عملی با آن مواجه می شویم.

مثال 13

انتگرال نامعین را پیدا کنید

اما اجازه دهید به مثال با شماره خوش شانس 13 برگردیم (راستش، من درست حدس نزدم). این انتگرال نیز یکی از مواردی است که اگر ندانید چگونه آن را حل کنید، می تواند بسیار خسته کننده باشد.

راه حل با یک تبدیل مصنوعی شروع می شود:

من فکر می کنم همه قبلاً می دانند که چگونه صورت را بر مخرج ترم بر جمله تقسیم کنند.

انتگرال به دست آمده در بخش هایی گرفته می شود:

برای یک انتگرال از شکل (- عدد طبیعی) استخراج می کنیم عود کنندهفرمول کاهش:
، جایی که - انتگرال یک درجه پایین تر.

اجازه دهید اعتبار این فرمول را برای انتگرال حل شده بررسی کنیم.
در این مورد: , از فرمول استفاده می کنیم:

همانطور که می بینید، پاسخ ها یکسان است.

مثال 14

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید. محلول نمونه از فرمول بالا دو بار متوالی استفاده می کند.

اگر زیر مدرک باشد غیر قابل تقسیممثلث مربع، سپس با جداسازی مربع کامل، راه حل به دو جمله ای کاهش می یابد، به عنوان مثال:

اگر یک چند جمله ای اضافی در صورتگر وجود داشته باشد چه؟ در این حالت از روش ضرایب نامعین استفاده می شود و تابع انتگرال به مجموع کسری بسط می یابد. اما در عمل من چنین مثالی وجود دارد هرگز ملاقات نکردند، بنابراین من این مورد را در مقاله از دست دادم انتگرال توابع کسری - گویا، اکنون از آن می گذرم. اگر هنوز با چنین انتگرالی روبرو هستید، به کتاب درسی نگاه کنید - همه چیز در آنجا ساده است. من فکر نمی‌کنم استفاده از مطالب (حتی موارد ساده) که احتمال مواجهه با آن‌ها به صفر می‌رسد، توصیه نمی‌شود.

ادغام توابع مثلثاتی پیچیده

صفت "پیچیده" برای بیشتر نمونه ها دوباره تا حد زیادی مشروط است. بیایید با مماس ها و کوتانژانت ها در توان های بالا شروع کنیم. از نقطه نظر روش های حل مورد استفاده، مماس و کتانژانت تقریباً مشابه هستند، بنابراین من بیشتر در مورد مماس صحبت خواهم کرد، به این معنی که روش نشان داده شده برای حل انتگرال برای کوتانژانت نیز معتبر است.

در درس بالا نگاه کردیم جایگزینی مثلثاتی جهانیبرای حل نوع خاصی از انتگرال های توابع مثلثاتی. نقطه ضعف جایگزینی مثلثاتی جهانی این است که استفاده از آن اغلب منجر به انتگرال های دست و پا گیر با محاسبات دشوار می شود. و در برخی موارد، می توان از جایگزینی مثلثاتی جهانی اجتناب کرد!

بیایید یک مثال متعارف دیگر را در نظر بگیریم، انتگرال یک تقسیم بر سینوس:

مثال 17

انتگرال نامعین را پیدا کنید

در اینجا می توانید از جایگزینی مثلثاتی جهانی استفاده کنید و پاسخ را دریافت کنید، اما راه منطقی تری وجود دارد. من راه حل کامل را با نظرات برای هر مرحله ارائه خواهم کرد:

(1) از فرمول مثلثاتی برای سینوس زاویه دوتایی استفاده می کنیم.
(2) ما یک تبدیل مصنوعی انجام می دهیم: در مخرج تقسیم و ضرب در .
(3) با استفاده از فرمول شناخته شده در مخرج، کسر را به مماس تبدیل می کنیم.
(4) تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم.
(5) انتگرال را بگیرید.

چند مثال ساده برای حل کردن خودتان:

مثال 18

انتگرال نامعین را پیدا کنید

توجه: اولین قدم باید استفاده از فرمول کاهش باشد و اقدامات مشابه مثال قبل را با دقت انجام دهید.

مثال 19

انتگرال نامعین را پیدا کنید

خوب، این یک مثال بسیار ساده است.

راه حل ها و پاسخ ها را در پایان درس کامل کنید.

من فکر می کنم اکنون هیچ کس با انتگرال ها مشکلی نخواهد داشت:
و غیره

ایده روش چیست؟ ایده این است که از تبدیل ها و فرمول های مثلثاتی برای سازماندهی فقط مماس ها و مشتق مماس در انتگرال استفاده شود. یعنی ما در مورد جایگزینی صحبت می کنیم: . در مثال‌های 17-19، ما در واقع از این جایگزینی استفاده کردیم، اما انتگرال‌ها به قدری ساده بودند که با یک عمل معادل آن را انجام دادیم - تابع را زیر علامت دیفرانسیل قرار دادیم.

استدلال مشابهی، همانطور که قبلاً ذکر کردم، می تواند برای کوتانژانت نیز انجام شود.

همچنین یک پیش نیاز رسمی برای اعمال جایگزینی فوق وجود دارد:

مجموع توان های کسینوس و سینوس یک عدد صحیح منفی زوج است، مثلا:

برای انتگرال - یک عدد صحیح منفی EVEN.

! توجه داشته باشید : اگر انتگرال حاوی ONLY یک سینوس یا فقط یک کسینوس باشد، انتگرال نیز برای یک درجه فرد منفی گرفته می شود (ساده ترین موارد در مثال های شماره 17، 18 است).

بیایید به چند کار معنادار دیگر بر اساس این قانون نگاه کنیم:

مثال 20

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مجموع توان های سینوس و کسینوس: 2 – 6 = –4 یک عدد صحیح زوج منفی است، به این معنی که انتگرال را می توان به مماس و مشتق آن کاهش داد:

(1) بیایید مخرج را تبدیل کنیم.
(2) با استفاده از فرمول شناخته شده، به دست می آوریم.
(3) بیایید مخرج را تبدیل کنیم.
(4) ما از فرمول استفاده می کنیم .
(5) تابع را زیر علامت دیفرانسیل می آوریم.
(6) ما جایگزینی را انجام می دهیم. دانش آموزان با تجربه تر ممکن است جایگزینی را انجام ندهند، اما باز هم بهتر است مماس را با یک حرف جایگزین کنید - خطر گیج شدن کمتر است.

مثال 21

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این یک مثال برای شماست که خودتان آن را حل کنید.

منتظر بمانید، دورهای قهرمانی در شرف شروع هستند =)

غالباً انتگرال حاوی یک "Hodgepodge" است:

مثال 22

انتگرال نامعین را پیدا کنید

این انتگرال در ابتدا حاوی یک مماس است که بلافاصله به یک فکر آشنا منتهی می شود:

من تحول مصنوعی را در همان ابتدا و مراحل باقی مانده را بدون نظر می گذارم، زیرا همه چیز قبلاً در بالا مورد بحث قرار گرفته است.

چند مثال خلاقانه برای راه حل خودتان:

مثال 23

انتگرال نامعین را پیدا کنید

مثال 24

انتگرال نامعین را پیدا کنید

بله، در آنها، البته، شما می توانید قدرت های سینوس و کسینوس را کاهش دهید و از یک جایگزین مثلثاتی جهانی استفاده کنید، اما راه حل اگر از طریق مماس ها انجام شود بسیار کارآمدتر و کوتاه تر خواهد بود. راه حل و پاسخ کامل در پایان درس

با یک انتگرال معین از یک تابع پیوسته f(ایکس) در بخش پایانی [ آ, ب] (جایی که ) افزایش برخی از ضد مشتقات آن در این بخش است. (به طور کلی، اگر موضوع انتگرال نامعین را تکرار کنید، درک به طور قابل توجهی آسان تر خواهد شد) در این مورد، از نماد استفاده می شود.

همانطور که در نمودارهای زیر مشاهده می شود (افزایش تابع ضد مشتق با نشان داده شده است)، یک انتگرال معین می تواند یک عدد مثبت یا منفی باشد(به عنوان تفاوت بین مقدار ضد مشتق در حد بالا و مقدار آن در حد پایین محاسبه می شود، یعنی به عنوان مثال اف(ب) - اف(آ)).

شماره آو ببه ترتیب حد پایین و بالای ادغام و بخش [ آ, ب] – بخش ادغام.

بنابراین، اگر اف(ایکس) – برخی تابع ضد مشتق برای f(ایکس) سپس طبق تعریف

(38)

برابری (38) نامیده می شود فرمول نیوتن لایب نیتس . تفاوت اف(ب) – اف(آ) به طور خلاصه به شرح زیر نوشته شده است:

بنابراین فرمول نیوتن لایب نیتس را به صورت زیر می نویسیم:

(39)

اجازه دهید ثابت کنیم که انتگرال معین به این بستگی ندارد که کدام پاد مشتق از انتگرال هنگام محاسبه آن گرفته شود. اجازه دهید اف(ایکس) و F( ایکس) پاد مشتق دلخواه انتگرال هستند. از آنجایی که اینها ضد مشتقات یک تابع هستند، با یک جمله ثابت تفاوت دارند: Ф( ایکس) = اف(ایکس) + سی. از همین رو

این نشان می دهد که در بخش [ آ, ب] افزایش همه ضد مشتقات تابع f(ایکس) مطابقت دادن

بنابراین، برای محاسبه یک انتگرال معین، لازم است هر پاد مشتق انتگرال را پیدا کنیم، یعنی. ابتدا باید انتگرال نامعین را پیدا کنید. ثابت با از محاسبات بعدی مستثنی شده است. سپس فرمول نیوتن-لایبنیتس اعمال می شود: مقدار حد بالایی به تابع ضد مشتق جایگزین می شود. ب , بیشتر - مقدار حد پایین آ و مابه التفاوت محاسبه می شود F(b) - F(a) . عدد حاصل یک انتگرال معین خواهد بود..

در آ = بطبق تعریف پذیرفته شده است

مثال 1.

راه حل. ابتدا بیایید انتگرال نامعین را پیدا کنیم:

استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس برای ضد مشتق

(در با= 0)، دریافت می کنیم

با این حال، هنگام محاسبه انتگرال معین، بهتر است که ضد مشتق را جداگانه پیدا نکنید، بلکه بلافاصله انتگرال را به شکل (39) بنویسید.

مثال 2.انتگرال معین را محاسبه کنید

راه حل. با استفاده از فرمول

خواص انتگرال معین

قضیه 2.مقدار انتگرال معین به تعیین متغیر انتگرال گیری بستگی ندارد، یعنی

(40)

اجازه دهید اف(ایکس) – ضد مشتق برای f(ایکس). برای f(تی) ضد مشتق همان تابع است اف(تی) که در آن متغیر مستقل فقط به صورت متفاوت تعیین می شود. از این رو،

بر اساس فرمول (39) تساوی آخر به معنای برابری انتگرال ها است

قضیه 3.عامل ثابت را می توان از علامت انتگرال معین خارج کرد، یعنی

(41)

قضیه 4.انتگرال معین مجموع جبری تعداد محدودی از توابع برابر است با مجموع جبری انتگرال های معین این توابع.، یعنی

(42)

قضیه 5.اگر قسمتی از انتگرال به قطعات تقسیم شود، آنگاه انتگرال معین در کل بخش برابر است با مجموع انتگرال های معین روی قطعات آن.، یعنی اگر

(43)

قضیه 6.هنگام تنظیم مجدد حدود انتگرال، قدر مطلق انتگرال معین تغییر نمی کند، بلکه فقط علامت آن تغییر می کند.، یعنی

(44)

قضیه 7(قضیه مقدار میانگین). یک انتگرال معین برابر است با حاصل ضرب طول بخش انتگرال گیری و مقدار انتگرال در نقطه ای از داخل آن.، یعنی

(45)

قضیه 8.اگر حد بالایی انتگرال از حد پایین بیشتر باشد و انتگرال غیر منفی (مثبت) باشد، انتگرال معین نیز غیر منفی (مثبت) است، یعنی. اگر

قضیه 9.اگر حد بالایی یکپارچگی بیشتر از حد پایین باشد و توابع و پیوسته باشند، نابرابری

را می توان ترم به ترم ادغام کرد، یعنی

(46)

ویژگی های انتگرال معین، ساده کردن محاسبه مستقیم انتگرال ها را ممکن می سازد.

مثال 5.انتگرال معین را محاسبه کنید

با استفاده از قضایای 4 و 3 و هنگام یافتن پاد مشتق - انتگرال جدول (7) و (6) به دست می آوریم.

انتگرال معین با حد بالایی متغیر

اجازه دهید f(ایکس) – پیوسته روی قطعه [ آ, ب] تابع و اف(ایکس) ضد مشتق آن است. انتگرال معین را در نظر بگیرید

(47)

و از طریق تیمتغیر ادغام طوری تعیین می شود که با کران بالایی اشتباه نشود. وقتی تغییر می کند ایکسانتگرال معین (47) نیز تغییر می کند، یعنی. تابعی از حد بالایی یکپارچگی است ایکس، که با آن نشان می دهیم اف(ایکس) ، یعنی

(48)

اجازه دهید ثابت کنیم که تابع اف(ایکس) یک ضد مشتق برای است f(ایکس) = f(تی). در واقع، متمایز کردن اف(ایکس)، ما گرفتیم

زیرا اف(ایکس) – ضد مشتق برای f(ایکس)، آ اف(آ) یک مقدار ثابت است.

تابع اف(ایکس) – یکی از بی نهایت پاد مشتق برای f(ایکس)، یعنی آن که ایکس = آبه صفر می رسد این عبارت در صورتی به دست می آید که در برابری (48) قرار دهیم ایکس = آو از قضیه 1 پاراگراف قبل استفاده کنید.

محاسبه انتگرال های معین به روش انتگرال گیری توسط قطعات و روش تغییر متغیر

جایی که طبق تعریف اف(ایکس) – ضد مشتق برای f(ایکس). اگر متغیر را در انتگرال تغییر دهیم

سپس مطابق فرمول (16) می توانیم بنویسیم

در این بیان

تابع ضد مشتق برای

در واقع، مشتق آن، با توجه به قانون تمایز توابع پیچیده، برابر است

بگذارید α و β مقادیر متغیر باشند تی، که برای آن تابع

بر این اساس ارزش ها را می گیرد آو ب، یعنی

اما طبق فرمول نیوتن-لایبنیتس، تفاوت اف(ب) – اف(آ) وجود دارد