Kalkulator rešuje integrale s PODROBNIM opisom dejanj v ruščini in brezplačno!

Reševanje nedoločenih integralov

To je spletna storitev v en korak:

Reševanje določenih integralov

To je spletna storitev v en korak:

• Vnesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Vnesite spodnjo mejo za integral
• Vnesite zgornjo mejo za integral

Reševanje dvojnih integralov

• Vnesite izraz integrand (integralna funkcija)

Reševanje nepravilnih integralov

• Vnesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Vnesite zgornje območje integracije (ali + neskončnost)
• Vnesite spodnje območje integracije (ali - neskončnost)

Reševanje trojnih integralov

• Vnesite izraz integrand (integralna funkcija)
• Vnesite spodnjo in zgornjo mejo za prvo integracijsko regijo
• Vnesite spodnjo in zgornjo mejo za drugo integracijsko regijo
• Vnesite spodnjo in zgornjo mejo za tretjo regijo integracije

Ta storitev vam omogoča, da preverite svoje izračuni za pravilnost

Možnosti

• Podpira vse možne matematične funkcije: sinus, kosinus, eksponent, tangens, kotangens, kvadratne in kubične korenine, potence, eksponente in druge.
• Obstajajo primeri za vnos, tako za nedoločene integrale kot za nepravilne in določene.
• Popravi napake v izrazih, ki jih vnesete, in ponudi lastne možnosti za vnos.
• Numerična rešitev za določene in neprave integrale (vključno z dvojnimi in trojnimi integrali).
• Podpora za kompleksna števila in različne parametre (lahko podate ne samo integracijsko spremenljivko, ampak tudi druge spremenljivke parametrov v izrazu integranda)

Nedoločen integral.
Podrobne vzorčne rešitve

V tej lekciji bomo začeli preučevati temo Nedoločen integral, podrobno pa bomo analizirali tudi primere rešitev najenostavnejših (in manj preprostih) integralov. V tem članku se bom omejil na minimum teorije, zdaj pa je naša naloga, da se naučimo reševati integrale.

Kaj morate vedeti za uspešno obvladovanje snovi? Da bi se spopadli z integralnim računom, morate biti sposobni najti derivate vsaj na srednji ravni. Zato, če je bilo gradivo objavljeno, priporočam, da najprej natančno preberete lekcije Kako najti izpeljanko? in Odvod kompleksne funkcije. Ne bo škoda izkušenj, če imate za seboj več deset (raje sto) neodvisno najdenih derivatov. Vsaj naj vas ne zmedejo naloge za razlikovanje najpreprostejših in najpogostejših funkcij. Zdi se, kaj imajo s tem izpeljanke, če je članek o integralih?! Tukaj je stvar. Dejstvo je, da sta iskanje odvodov in iskanje nedoločenih integralov (diferenciacija in integracija) dve medsebojno inverzni dejanji, kot sta seštevanje/odštevanje ali množenje/deljenje. Tako brez veščine (+ nekaj izkušenj) iskanja derivatov žal ne morete napredovati.

V zvezi s tem bomo potrebovali naslednja učna gradiva: Tabela izvedenih finančnih instrumentov in Tabela integralov. Referenčne priročnike je mogoče odpreti, prenesti ali natisniti na strani Matematične formule in tabele.

Kakšna je težava pri učenju nedoločenih integralov? Če v derivatih obstaja strogo 5 pravil diferenciacije, tabela derivatov in dokaj jasen algoritem dejanj, potem je v integralih vse drugače. Obstaja na desetine integracijskih metod in tehnik. In če je metoda integracije sprva izbrana nepravilno (t.j. ne veste, kako rešiti), potem lahko "bodete" integral dobesedno več dni, kot pravo sestavljanko, poskušate opaziti različne tehnike in trike. Nekaterim je celo všeč. Mimogrede, to ni šala, velikokrat sem od študentov slišal mnenje, kot je »Nikoli me ni zanimalo reševanje limite ali odvoda, integrali pa so čisto druga stvar, fascinantno je, vedno je želja "hack" kompleksen integral. Stop. Dovolj črnega humorja, pojdimo na te same nedoločene integrale.

Ker obstaja toliko načinov za rešitev, kje potem začeti preučevati nedoločene integrale za čajnik? Pri integralnem računu so po mojem mnenju trije stebri oziroma nekakšna “os”, okoli katere se vrti vse ostalo. Najprej bi morali dobro razumeti najpreprostejše integrale (ta članek). Nato morate lekcijo obdelati podrobno. TO JE NAJBOLJ POMEMBNA TEHNIKA! Morda celo najpomembnejši članek od vseh mojih člankov o integralih. In tretjič, vsekakor se morate seznaniti z metodo integracije po delih, saj jo je mogoče uporabiti za integracijo širokega razreda funkcij. Če obvladaš vsaj te tri lekcije, potem dveh ne boš imel več. Morda vam bo oproščeno nepoznavanje integralov iz trigonometričnih funkcij, integralov iz ulomkov, integralov iz ulomkov-racionalnih funkcij, integralov iz iracionalnih funkcij (korenov), a če se vam zatakne pri metodi zamenjave ali metodi integracije po delih, potem je bo zelo, zelo slabo.

Demotivatorji so zdaj zelo pogosti v Runetu. V kontekstu preučevanja integralov je, nasprotno, preprosto nujen MOTIVATOR. Kot v tistem vicu o Vasiliju Ivanoviču, ki je motiviral tako Petka kot Anko. Dragi lenuhi, brezplačniki in ostali normalni študenti, obvezno preberite naslednje. Znanje in spretnosti o nedoločenem integralu bo potrebno pri nadaljnjem študiju, predvsem pri študiju določenega integrala, nepravilnih integralov in diferencialnih enačb v 2. letniku. Potreba po integralu se pojavi celo v teoriji verjetnosti! torej brez integralke BO POT v poletni letnik in 2. letnik RES ZAPRTA. Resen sem. Zaključek je takšen. Več integralov različnih vrst boste rešili, lažje bo vaše prihodnje življenje.. Ja, trajalo bo kar nekaj časa, ja, včasih nočeš, ja, včasih "hudiča s tem, s tem integralom, mogoče te ne bodo ujeli." Toda naslednja misel naj vas navdihne in ogreje dušo, vaš trud se bo v celoti poplačal! Diferencialne enačbe boste lahko razbijali kot orehe in zlahka obravnavali integrale, ki jih boste srečali v drugih oddelkih višje matematike. Ko boste temeljito razumeli nedoločen integral, BOSTE DEJANSKO OBVLADILI ŠE VEČ DELOV STOLPA.

In tako si preprosto nisem mogel kaj, da ne bi ustvarjal intenzivni tečaj o tehniki integracije, ki se je izkazalo za presenetljivo kratko - kdor želi, lahko uporabi pdf knjigo in se ZELO hitro pripravi. Toda materiali na spletnem mestu nikakor niso slabši!

Torej, začnimo preprosto. Poglejmo tabelo integralov. Tako kot pri izpeljankah opazimo več integracijskih pravil in tabelo integralov nekaterih elementarnih funkcij. Preprosto je videti, da ima vsak tabelarni integral (in pravzaprav vsak nedoločen integral) obliko:

Takoj razumemo oznake in izraze:

– integralna ikona.

– funkcija integranda (zapisana s črko “s”).

– ikona diferenciala. Pri pisanju integrala in med reševanjem je pomembno, da te ikone ne izgubite. Tam bo opazna napaka.

– izraz integranda ali "zapolnitev" integrala.

– antiderivativna funkcija.

– veliko izvirnih funkcij. Ni se treba preveč obremenjevati s členi, najpomembnejše je, da je v vsakem nedoločenem integralu k odgovoru dodana konstanta.

Reševanje integrala pomeni iskanje določene funkcije z uporabo nekaterih pravil, tehnik in tabele.

Poglejmo še enkrat vnos:

Poglejmo tabelo integralov.

Kaj se dogaja? Imamo leve dele spremeniti se v na druge funkcije: .

Poenostavimo našo definicijo.

Reševanje nedoločenega integrala pomeni PRETVORBO v določeno funkcijo z uporabo nekaterih pravil, tehnik in tabele.

Vzemimo za primer tabelni integral . Kaj se je zgodilo? spremenila v funkcijo.

Kot v primeru izpeljank, da bi se naučili iskati integrale, se vam ni treba zavedati kaj je integral, antiderivativna funkcija s teoretičnega vidika. Dovolj je, da preprosto izvedete transformacije v skladu z nekaterimi formalnimi pravili. Torej, v primeru Sploh ni potrebno razumeti, zakaj se integral spremeni v . Za zdaj lahko to in druge formule jemljemo kot samoumevne. Vsi uporabljajo elektriko, le malo ljudi razmišlja o tem, kako elektroni potujejo po žicah.

Ker sta diferenciacija in integracija nasprotni operaciji, potem za vsako najdeno antiizpeljavo Prav, velja naslednje:

Z drugimi besedami, če diferencirate pravilen odgovor, potem morate dobiti izvirno funkcijo integranda.

Vrnimo se k istemu integralu tabele .

Preverimo veljavnost te formule. Vzamemo izpeljanko desne strani:

je izvirna funkcija integranda.

Mimogrede, postalo je bolj jasno, zakaj je konstanta vedno dodeljena funkciji. Pri diferenciranju se konstanta vedno obrne na nič.

Reši nedoločen integral- pomeni najti kup vsi antiderivativi, in ne le ena funkcija. V obravnavanem primeru tabele, , , itd. – vse te funkcije so rešitve integrala. Rešitev je neskončno veliko, zato jih na kratko zapišemo:

Tako je vsak nedoločen integral precej enostavno preveriti (za razliko od izpeljank, kjer je mogoče dobro preverjanje opraviti le z uporabo matematičnih programov). To je nekaj nadomestila za veliko število integralov različnih vrst.

Pojdimo na konkretne primere. Začnimo, kot pri preučevanju derivata,
z dvema praviloma integracije, imenovano tudi lastnosti linearnosti nedoločen integral:

– konstantni faktor se lahko (in mora) vzeti iz integralnega predznaka.

– integral algebraične vsote dveh funkcij je enak algebraični vsoti dveh integralov vsake funkcije posebej. Ta lastnost velja za poljubno število izrazov.

Kot lahko vidite, so pravila v bistvu enaka kot pri izvedenih finančnih instrumentih.

Primer 1

Rešitev: Bolj priročno je prepisati na papir.

(1) Uporabite pravilo . Ne pozabite zapisati diferencialnega simbola pod vsak integral. Zakaj pod vsako? - to je polni množitelj, če podrobno opišemo rešitev, naj bo prvi korak zapisan takole:

(2) Po pravilu , vzamemo vse konstante izven integralnih predznakov. Upoštevajte, da je zadnji člen stalnica, prav tako ga odstranimo.
Poleg tega na tem koraku pripravimo korenine in moči za integracijo. Na enak način kot pri diferenciaciji morajo biti koreni predstavljeni v obliki . Premakni korene in potence, ki se nahajajo v imenovalcu, navzgor.

! Opomba: za razliko od izpeljank, korenov v integralih ne bi smeli vedno reducirati na obliko , temveč je treba stopnje prenesti navzgor. Na primer, to je že pripravljen namizni integral in vse vrste kitajskih trikov popolnoma nepotrebno. Podobno: – tudi tabelarični integral, ulomka nima smisla predstavljati v obliki . Previdno preučite tabelo!

(3) Vsi naši integrali so tabelarični. Transformacijo izvedemo s tabelo po formulah: , in .
Posebno pozornost namenjam formuli za integracijo potenčne funkcije , se pojavlja zelo pogosto, bolje si je zapomniti. Upoštevati je treba, da je integral tabele poseben primer iste formule: .
Dovolj je, da konstanto dodate enkrat na koncu izraza (in jih ne postavljate za vsakim integralom).
(4) Dobljeni rezultat zapišemo v strnjenejši obliki, vse potence obrazca ponovno predstavimo kot korene, potence z negativnim eksponentom ponastavimo nazaj na imenovalec.

Pregled. Za izvedbo preverjanja morate prejeti odgovor razlikovati:

Prejel original integrand, kar pomeni, da je bil integral najden pravilno. Iz česar so plesali, k temu so se vrnili. Veste, zelo dobro je, ko se zgodba z integralom tako konča.

Od časa do časa obstaja nekoliko drugačen pristop k preverjanju nedoločenega integrala; iz odgovora ni vzet odvod, ampak diferencial:

Tisti, ki so razumeli iz prvega semestra, so razumeli, zdaj pa nam niso pomembne teoretične tankosti, ampak je pomembno, kaj s tem diferencialom narediti naprej. Treba ga je razkriti in s formalno tehničnega vidika je to skoraj enako kot iskanje izpeljanke. Diferencial se razkrije na naslednji način: odstranimo ikono, desno nad oklepajem postavimo črto in na konec izraza dodamo faktor:

Prejet original integrand, kar pomeni, da je bil integral najden pravilno.

Drugi način preverjanja mi je manj všeč, saj moram dodatno narisati velike oklepaje in povleči ikono diferenciala do konca preverjanja. Čeprav je bolj pravilno ali "bolj ugledno" ali kaj podobnega.

Pravzaprav bi lahko o drugem načinu preverjanja povsem zamolčal. Bistvo ni v metodi, ampak v tem, da smo se naučili odpreti diferencial. Ponovno.

Razlika se razkrije na naslednji način:

1) odstranite ikono;
2) desno nad oklepajem postavimo črto (oznaka izpeljanke);
3) na koncu izraza priredimo faktor .

Na primer:

Zapomni si to. To tehniko bomo potrebovali zelo kmalu.

Primer 2

Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje.

Ko najdemo nedoločen integral, VEDNO poskušamo preveriti Poleg tega obstaja velika priložnost za to. S tega vidika niso vse vrste problemov v višji matematiki darilo. Ni pomembno, da preverjanja pri testnih nalogah pogosto niso potrebna; nihče in nič vam ne preprečuje, da bi to naredili na osnutku. Izjema je možna le, če ni dovolj časa (na primer med testom ali izpitom). Osebno integrale vedno preverjam, pomanjkanje preverjanja pa smatram za kramp in slabo opravljeno nalogo.

Primer 3

Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje.

Rešitev: Z analizo integrala vidimo, da imamo zmnožek dveh funkcij in celo potenciranje celotnega izraza. Na področju integralnega boja žal ni dobrih in priročnih formul za integracijo izdelka in posameznega. , .

In zato, ko je podan produkt ali količnik, je vedno smiselno preveriti, ali je mogoče integrand pretvoriti v vsoto?

Obravnavani primer je primer, ko je to mogoče. Najprej bom dal celotno rešitev, komentarji bodo spodaj.

(1) Uporabljamo dobro staro formulo kvadrata vsote, pri čemer se znebimo stopnje.

(2) Dali smo ga v oklepaj in se znebili izdelka.

Primer 4

Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Odgovor in popolna rešitev sta na koncu lekcije.

Primer 5

Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje.

V tem primeru je integrand ulomek. Ko v integrandu vidimo ulomek, bi morala biti prva misel vprašanje: ali se je mogoče tega ulomka nekako znebiti ali ga vsaj poenostaviti?

Opazimo, da imenovalec vsebuje en sam koren iz "X". Eden na terenu ni bojevnik, kar pomeni, da lahko števec delimo z imenovalcem na pojem:

Dejanj z ulomkimi potenci ne komentiram, saj so bila o njih večkrat razpravljana v člankih o odvodu funkcije. Če vas primer, kot je, še vedno bega, in še vedno ne morete dobiti pravilnega odgovora, priporočam, da se obrnete na šolske učbenike. V višji matematiki se ulomki in operacije z njimi srečujejo na vsakem koraku.

Upoštevajte tudi, da rešitvi manjka en korak, in sicer uporaba pravil , . Običajno so že med začetnimi izkušnjami reševanja integralov te lastnosti samoumevne in niso podrobneje opisane.

Primer 6

Poiščite nedoločen integral. Izvedite preverjanje.

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Odgovor in popolna rešitev sta na koncu lekcije.

V splošnem primeru z ulomki v integralih ni vse tako preprosto, dodatno gradivo o integraciji ulomkov nekaterih vrst najdete v članku Integracija nekaterih ulomkov.

! Toda preden preidete na zgornji članek, se morate seznaniti z lekcijo Substitucijska metoda v nedoločenem integralu. Bistvo je, da je vključitev funkcije pod diferencialno ali spremenljivo metodo zamenjave ključna točka pri preučevanju teme, saj ga najdemo ne le »v čistih nalogah na metodi zamenjave«, temveč tudi v mnogih drugih vrstah integralov.

V to lekcijo sem res želel vključiti še nekaj primerov, vendar zdaj sedim tukaj, tipkam to besedilo v Verdeju in opazim, da je članek že zrasel na spodobno velikost.
In tako se je začetni tečaj integralov za telebane zaključil.

Želim ti uspeh!

Rešitve in odgovori:

Primer 2: rešitev:

Primer 4: rešitev:

V tem primeru smo uporabili formulo za skrajšano množenje

Primer 6: rešitev:

Jaz sem opravil pregled, ti pa? ;)

Iskanje nedoločenega integrala je zelo pogost problem v višji matematiki in drugih tehničnih vejah znanosti. Tudi najpreprostejših fizikalnih problemov ni mogoče rešiti brez izračuna več preprostih integralov. Zato nas že od šolske starosti učijo tehnik in metod reševanja integralov, podane so številne tabele z integrali najpreprostejših funkcij. Vendar se sčasoma vse to varno pozabi, ali nimamo dovolj časa za izračune ali pa potrebujemo najti rešitev nedoločenega integrala iz zelo kompleksne funkcije. Za rešitev teh težav bo nepogrešljiva naša storitev, ki vam bo omogočila natančno iskanje nedoločenega integrala na spletu.

Reši nedoločen integral

Spletna storitev na Spletna stran vam omogoča, da najdete reševanje integrala na spletu hitro, brezplačno in kakovostno. Iskanje po tabelah po zahtevanem integralu lahko nadomestite z našo storitvijo, kjer s hitrim vnosom želene funkcije prejmete rešitev nedoločenega integrala v tabelarični različici. Vsa matematična spletna mesta ne morejo hitro in učinkovito izračunati nedoločenih integralov funkcij na spletu, še posebej, če morate najti nedoločen integral iz kompleksne funkcije ali takih funkcij, ki niso vključene v splošni tečaj višje matematike. Spletna stran Spletna stran bo pomagal reši integral na spletu in se spopasti z nalogo. Z uporabo spletne rešitve integral na spletni strani boste vedno dobili natančen odgovor.

Tudi če želite integral izračunati sami, boste z našo storitvijo zlahka preverili svoj odgovor, našli napako ali tipkarsko napako ali se prepričali, da je naloga brezhibno opravljena. Če rešujete problem in morate kot pomožno dejanje izračunati nedoločen integral, zakaj bi potem izgubljali čas s temi dejanji, ki ste jih morda že tisočkrat izvedli? Poleg tega so dodatni izračuni integrala lahko vzrok za tipkarsko napako ali manjšo napako, ki je kasneje vodila do napačnega odgovora. Samo uporabite naše storitve in poiščite nedoločen integral online brez truda. Za praktične probleme iskanja integral funkcije na spletu ta strežnik je zelo uporaben. Vnesti morate dano funkcijo, dobiti spletna rešitev nedoločenega integrala in primerjajte odgovor s svojo rešitvijo.

Kompleksni integrali

Ta članek zaključuje temo nedoločenih integralov in vključuje integrale, ki se mi zdijo precej zapleteni. Lekcija je nastala na večkratno prošnjo obiskovalcev, ki so izrazili željo, da bi se na strani analizirali težji primeri.

Predpostavlja se, da je bralec tega besedila dobro pripravljen in zna uporabiti osnovne tehnike integracije. Tebani in ljudje, ki niso preveč prepričani v integrale, naj se obrnejo na prvo lekcijo - Nedoločen integral. Primeri rešitev, kjer lahko temo obvladate skoraj iz nič. Izkušenejši študenti se lahko seznanijo s tehnikami in metodami integracije, ki jih v mojih člankih še nisem srečal.

Katere integrale bomo upoštevali?

Najprej bomo obravnavali integrale s koreni, za rešitev katerih bomo zaporedno uporabljali variabilna zamenjava in integracija po delih. To pomeni, da sta v enem primeru dve tehniki združeni hkrati. In še več.

Potem se bomo seznanili z zanimivimi in izvirnimi metoda redukcije integrala nase. Kar nekaj integralov je rešenih na ta način.

Tretja številka programa bodo integrali kompleksnih ulomkov, ki so v prejšnjih člankih preleteli blagajno.

Četrtič, analizirani bodo dodatni integrali iz trigonometričnih funkcij. Zlasti obstajajo metode, ki se izogibajo dolgotrajni univerzalni trigonometrični zamenjavi.

(2) V funkciji integrand delimo števec z imenovalcem člen za členom.

(3) Uporabljamo lastnost linearnosti nedoločenega integrala. V zadnjem integral takoj funkcijo postavimo pod diferencialni znak.

(4) Vzamemo preostale integrale. Upoštevajte, da lahko v logaritmu namesto modula uporabite oklepaje, saj .

(5) Izvedemo obratno zamenjavo, pri čemer izrazimo »te« iz neposredne zamenjave:

Mazohistični učenci lahko diferencirajo odgovor in dobijo izvirni integrand, kot sem pravkar naredil. Ne, ne, preveril sem v pravem smislu =)

Kot lahko vidite, smo morali med reševanjem uporabiti celo več kot dve metodi reševanja, zato za obravnavo takšnih integralov potrebujete samozavestno integracijsko znanje in kar nekaj izkušenj.

V praksi je seveda pogostejši kvadratni koren, tukaj so trije primeri, da ga rešite sami:

Primer 2

Poiščite nedoločen integral

Primer 3

Poiščite nedoločen integral

Primer 4

Poiščite nedoločen integral

Ti primeri so iste vrste, zato bo popolna rešitev na koncu članka samo za primer 2; primeri 3-4 imajo enake odgovore. Katero zamenjavo uporabiti na začetku odločitev, mislim, da je očitno. Zakaj sem izbral primere iste vrste? Pogosto najdemo v njihovi vlogi. Pogosteje morda samo nekaj podobnega .

Vendar ne vedno, ko je pod arktangensom, sinusom, kosinusom, eksponentom in drugimi funkcijami koren linearne funkcije, morate uporabiti več metod hkrati. V številnih primerih je mogoče "enostavno izstopiti", to je, da takoj po zamenjavi dobimo preprost integral, ki ga je mogoče enostavno vzeti. Najlažja od zgoraj predlaganih nalog je primer 4, v katerem po zamenjavi dobimo relativno preprost integral.

Z redukcijo integrala nase

Duhovita in lepa metoda. Oglejmo si klasike žanra:

Primer 5

Poiščite nedoločen integral

Pod korenom je kvadratni binom in poskušanje integracije tega primera lahko čajniku povzroča ure in ure glavobola. Tak integral se vzame po delih in reducira nase. Načeloma ni težko. Če veš kako.

Označimo obravnavani integral z latinično črko in začnemo rešitev:

Integrirajmo po delih:

(1) Pripravite funkcijo integranda za člen za členom.

(2) Funkcijo integrand delimo člen za členom. Morda ni vsem jasno, vendar bom podrobneje opisal:

(3) Uporabljamo lastnost linearnosti nedoločenega integrala.

(4) Vzemite zadnji integral ("dolg" logaritem).

Zdaj pa poglejmo sam začetek rešitve:

In na koncu:

Kaj se je zgodilo? Zaradi naših manipulacij se je integral zmanjšal sam nase!

Izenačimo začetek in konec:

Premaknite se na levo stran s spremembo predznaka:

In oba premaknemo na desno stran. Kot rezultat:

Konstanto bi, strogo gledano, morali dodati že prej, vendar sem jo dodal na koncu. Toplo priporočam, da preberete, kakšna je strogost tukaj:

Opomba: Natančneje, končna faza rešitve izgleda takole:

Tako:

Konstanto je mogoče preoblikovati z . Zakaj se lahko preoblikuje? Ker ga še vedno sprejema kaj vrednosti in v tem smislu ni razlike med konstantami in.
Kot rezultat:

Podoben trik z nenehnim ponavljanjem se pogosto uporablja v diferencialne enačbe. In tam bom strog. In tukaj dopuščam takšno svobodo samo zato, da vas ne bi zmedel z nepotrebnimi stvarmi in da bi pozornost usmeril ravno na sam način integracije.

Primer 6

Poiščite nedoločen integral

Še en tipičen integral za neodvisno rešitev. Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije. Z odgovorom v prejšnjem primeru bo razlika!

Če je pod kvadratnim korenom kvadratni trinom, potem se rešitev v vsakem primeru zmanjša na dva analizirana primera.

Na primer, upoštevajte integral . Vse, kar morate storiti, je najprej izberite celoten kvadrat:
.
Nato se izvede linearna zamenjava, ki poteka "brez posledic":
, kar ima za posledico integral . Nekaj ​​znanega, kajne?

Ali ta primer s kvadratnim binomom:
Izberite celoten kvadrat:
In po linearni zamenjavi dobimo integral, ki ga prav tako rešujemo z že obravnavanim algoritmom.

Poglejmo si še dva tipična primera reduciranja integrala nase:
– integral eksponenta, pomnoženega s sinusom;
– integral eksponenta, pomnoženega s kosinusom.

V navedene integrale po delih boste morali integrirati dvakrat:

Primer 7

Poiščite nedoločen integral

Integrand je eksponent, pomnožen s sinusom.

Dvakrat integriramo po delih in reduciramo integral nase:

Zaradi dvojne integracije po delih je bil integral reduciran sam nase. Izenačimo začetek in konec rešitve:

S spremembo predznaka ga premaknemo na levo stran in izrazimo svoj integral:

pripravljena Hkrati je priporočljivo česati desno stran, tj. vzemite eksponent iz oklepajev, sinus in kosinus pa postavite v oklepaje v »lepem« vrstnem redu.

Zdaj pa se vrnimo na začetek primera oziroma natančneje na integracijo po delih:

Eksponent smo označili kot. Postavlja se vprašanje: ali je treba eksponent vedno označiti z ? Ni potrebno. Pravzaprav v obravnavanem integralu v osnovi ni važno, kaj mislimo z , bi lahko šli drugače:

Zakaj je to mogoče? Ker se eksponent spremeni vase (tako pri diferenciaciji kot pri integraciji), se sinus in kosinus medsebojno spremenita drug v drugega (spet tako pri diferenciaciji kot pri integraciji).

To pomeni, da lahko označimo tudi trigonometrično funkcijo. Toda v obravnavanem primeru je to manj racionalno, saj se bodo pojavili ulomki. Če želite, lahko ta primer poskusite rešiti z drugo metodo, odgovori se morajo ujemati.

Primer 8

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Preden se odločite, razmislite, kaj je v tem primeru ugodneje označiti kot , eksponentno ali trigonometrično funkcijo? Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

In seveda ne pozabite, da je večino odgovorov v tej lekciji precej enostavno preveriti z razlikovanjem!

Obravnavani primeri niso bili najbolj zapleteni. V praksi so pogostejši integrali, kjer je konstanta tako v eksponentu kot v argumentu trigonometrične funkcije, na primer: . Marsikdo se bo zmedel pri takem integralu in tudi sam sem pogosto zmeden. Dejstvo je, da obstaja velika verjetnost, da se v raztopini pojavijo ulomki, in zelo enostavno je nekaj izgubiti zaradi neprevidnosti. Poleg tega obstaja velika verjetnost napake v znakih; upoštevajte, da ima eksponent znak minus, kar predstavlja dodatne težave.

Na končni stopnji je rezultat pogosto nekaj takega:

Tudi na koncu rešitve morate biti zelo previdni in pravilno razumeti ulomke:

Integriranje kompleksnih ulomkov

Počasi se približujemo ekvatorju lekcije in začnemo obravnavati integrale ulomkov. Še enkrat, niso vsi zelo zapleteni, le zato, ker so bili primeri iz enega ali drugega razloga v drugih člankih malo »izven teme«.

Nadaljevanje teme korenin

Primer 9

Poiščite nedoločen integral

V imenovalcu pod korenom je kvadratni trinom plus "pridatek" v obliki "X" zunaj korena. Integral te vrste je mogoče rešiti s standardno zamenjavo.

Odločamo se:

Zamenjava tukaj je preprosta:

Poglejmo življenje po zamenjavi:

(1) Po zamenjavi člene pod korenom reduciramo na skupni imenovalec.
(2) Poberemo ga izpod korenine.
(3) Števec in imenovalec se zmanjšata za . Hkrati sem pod korenom preuredil izraze v priročnem vrstnem redu. Z nekaj izkušnjami lahko korake (1), (2) preskočite tako, da komentirana dejanja izvedete ustno.
(4) Nastali integral, kot se spomnite iz lekcije Integracija nekaterih ulomkov, se odloča metoda popolne kvadratne ekstrakcije. Izberite celoten kvadrat.
(5) Z integracijo dobimo navaden “dolg” logaritem.
(6) Izvedemo obratno zamenjavo. Če na začetku , potem nazaj: .
(7) Končno dejanje je namenjeno poravnavi rezultata: pod korenom spet spravimo izraze na skupni imenovalec in jih vzamemo izpod korena.

Primer 10

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Tu je edinemu "X" dodana konstanta in zamenjava je skoraj enaka:

Edina stvar, ki jo morate narediti dodatno je, da izrazite "x" iz zamenjave, ki se izvaja:

Celotna rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Včasih je lahko v takem integralu pod korenom kvadratni binom, to ne spremeni metode rešitve, še enostavnejša bo. Občutite razliko:

Primer 11

Poiščite nedoločen integral

Primer 12

Poiščite nedoločen integral

Kratke rešitve in odgovori na koncu lekcije. Opozoriti je treba, da je primer 11 natančen binomski integral, katerega način reševanja smo obravnavali v razredu Integrali iracionalnih funkcij.

Integral nerazgradljivega polinoma 2. stopnje na potenco

(polinom v imenovalcu)

Bolj redka vrsta integrala, vendar se kljub temu srečuje v praktičnih primerih.

Primer 13

Poiščite nedoločen integral

A vrnimo se k primeru s srečno številko 13 (odkrito povedano, nisem prav uganil). Tudi ta integral je eden tistih, ki so lahko precej frustrirajoči, če ne veste, kako rešiti.

Rešitev se začne z umetno preobrazbo:

Mislim, da vsi že razumejo, kako razdeliti števec na imenovalec po izrazih.

Nastali integral se vzame v delih:

Za integral oblike ( – naravno število) izpeljemo ponavljajoče se formula zmanjšanja:
, Kje – integral stopnje nižje.

Preverimo veljavnost te formule za rešeni integral.
V tem primeru: , , uporabimo formulo:

Kot vidite, so odgovori enaki.

Primer 14

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Raztopina vzorca uporablja zgornjo formulo dvakrat zaporedoma.

Če je pod diplomo nedeljivo kvadratni trinom, potem se rešitev zmanjša na binom z izolacijo popolnega kvadrata, na primer:

Kaj pa, če je v števcu dodaten polinom? V tem primeru se uporabi metoda nedoločenih koeficientov, funkcija integrand pa se razširi v vsoto ulomkov. Toda v moji praksi je tak primer nikoli srečal, zato sem v članku spregledal ta primer Integrali ulomkov-racionalnih funkcij, bom zdaj preskočil. Če še vedno naletite na tak integral, poglejte učbenik - tam je vse preprosto. Mislim, da ni priporočljivo vključiti gradiva (tudi preprostega), katerega verjetnost naletijo na nič.

Integriranje kompleksnih trigonometričnih funkcij

Pridevnik "zapleten" je za večino primerov spet v veliki meri pogojen. Začnimo s tangentami in kotangensi pri velikih potencah. Z vidika uporabljenih metod reševanja sta tangens in kotangens skoraj ista stvar, zato bom več govoril o tangensu, kar pomeni, da prikazana metoda za reševanje integrala velja tudi za kotangens.

V zgornji lekciji smo si ogledali univerzalna trigonometrična zamenjava za reševanje določene vrste integralov trigonometričnih funkcij. Pomanjkljivost univerzalne trigonometrične substitucije je, da njena uporaba pogosto povzroči okorne integrale s težkimi izračuni. In v nekaterih primerih se je mogoče izogniti univerzalni trigonometrični zamenjavi!

Oglejmo si še en kanoničen primer, integral enega deljeno s sinusom:

Primer 17

Poiščite nedoločen integral

Tukaj lahko uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo in dobite odgovor, vendar obstaja bolj racionalen način. Zagotovil bom celotno rešitev s komentarji za vsak korak:

(1) Za sinus dvojnega kota uporabljamo trigonometrično formulo.
(2) Izvedemo umetno transformacijo: Delimo v imenovalcu in pomnožimo z .
(3) Z znano formulo v imenovalcu pretvorimo ulomek v tangento.
(4) Funkcijo pripeljemo pod diferencialni predznak.
(5) Vzemite integral.

Nekaj ​​preprostih primerov, ki jih lahko rešite sami:

Primer 18

Poiščite nedoločen integral

Opomba: prvi korak bi morala biti uporaba formule za zmanjšanje in previdno izvajajte dejanja, podobna prejšnjemu primeru.

Primer 19

Poiščite nedoločen integral

No, to je zelo preprost primer.

Popolne rešitve in odgovori na koncu lekcije.

Mislim, da zdaj nihče ne bo imel težav z integrali:
in tako naprej.

Kakšna je ideja metode? Zamisel je, da s transformacijami in trigonometričnimi formulami organiziramo samo tangente in tangentni odvod v integrand. To pomeni, da govorimo o zamenjavi: . V primerih 17-19 smo dejansko uporabili to zamenjavo, vendar so bili integrali tako preprosti, da smo opravili z enakovrednim dejanjem - funkcijo podstavili pod diferencialni predznak.

Podobno sklepanje, kot sem že omenil, lahko izvedemo za kotangens.

Obstaja tudi formalni predpogoj za uporabo zgornje zamenjave:

Vsota potenc kosinusa in sinusa je negativno celo SODNO število, Na primer:

za integral – negativno celo SODO število.

! Opomba : če integrand vsebuje SAMO sinus ali SAMO kosinus, se tudi integral vzame za negativno liho stopnjo (najenostavnejši primeri so v primerih št. 17, 18).

Oglejmo si nekaj bolj smiselnih nalog, ki temeljijo na tem pravilu:

Primer 20

Poiščite nedoločen integral

Vsota potenc sinusa in kosinusa: 2 – 6 = –4 je negativno celo SODNO število, kar pomeni, da lahko integral reduciramo na tangente in njen odvod:

(1) Preoblikujemo imenovalec.
(2) Z dobro znano formulo dobimo .
(3) Preoblikujemo imenovalec.
(4) Uporabljamo formulo .
(5) Funkcijo pripeljemo pod diferencialni predznak.
(6) Izvajamo zamenjavo. Bolj izkušeni učenci morda ne bodo izvedli zamenjave, vendar je vseeno bolje, da tangento zamenjate z eno črko - manj je nevarnosti, da bi se zmedli.

Primer 21

Poiščite nedoločen integral

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Drži se, prvenstveni krogi se bodo začeli =)

Pogosto integrand vsebuje "mešanico":

Primer 22

Poiščite nedoločen integral

Ta integral na začetku vsebuje tangento, ki takoj pripelje do že znane misli:

Umetno preobrazbo bom pustil na samem začetku in preostale korake brez komentarja, saj je bilo vse že obravnavano zgoraj.

Nekaj ​​ustvarjalnih primerov za lastno rešitev:

Primer 23

Poiščite nedoločen integral

Primer 24

Poiščite nedoločen integral

Da, v njih seveda lahko znižate moči sinusa in kosinusa ter uporabite univerzalno trigonometrično zamenjavo, vendar bo rešitev veliko učinkovitejša in krajša, če bo izvedena skozi tangente. Celotna rešitev in odgovori na koncu lekcije

Z določenim integralom iz zvezne funkcije f(x) na končnem segmentu [ a, b] (kjer je ) prirastek nekaterih njegovih antiizpeljank na tem segmentu. (Na splošno bo razumevanje opazno lažje, če ponovite temo nedoločenega integrala) V tem primeru se uporablja zapis

Kot je razvidno iz spodnjih grafov (inkrement antiderivacijske funkcije je označen z ), določen integral je lahko pozitivno ali negativno število(Izračuna se kot razlika med vrednostjo protiizpeljave v zgornji meji in njeno vrednostjo v spodnji meji, tj. kot F(b) - F(a)).

Številke a in b imenujemo spodnja in zgornja meja integracije, segment [ a, b] – segment integracije.

Torej, če F(x) – neka protiizpeljanka za f(x), potem je po definiciji

(38)

Enakost (38) se imenuje Newton-Leibnizova formula . Razlika F(b) – F(a) je na kratko zapisano takole:

Zato bomo Newton-Leibnizovo formulo zapisali takole:

(39)

Dokažimo, da določeni integral ni odvisen od tega, kateri protiodvod integranda vzamemo pri njegovem izračunu. Pustiti F(x) in F( X) so poljubni antiodvodi integranda. Ker gre za antiizpeljave iste funkcije, se razlikujejo po konstantnem členu: Ф( X) = F(x) + C. Zato

To določa, da na segmentu [ a, b] prirastki vseh antiodvodov funkcije f(x) ujemati se.

Tako je za izračun določenega integrala potrebno najti kateri koli protiodvod integranda, tj. Najprej morate najti nedoločen integral. Konstanta Z izključeni iz poznejših izračunov. Nato uporabimo Newton-Leibnizovo formulo: vrednost zgornje meje nadomestimo s funkcijo antiderivacije b , nadalje - vrednost spodnje meje a in razlika se izračuna F(b) - F(a) . Dobljeno število bo določen integral..

pri a = b po definiciji sprejeti

Primer 1.

rešitev. Najprej poiščimo nedoločen integral:

Uporaba Newton-Leibnizove formule za antiizpeljavo

(pri Z= 0), dobimo

Vendar pa je pri izračunu določenega integrala bolje, da protiizpeljave ne poiščemo posebej, ampak integral takoj zapišemo v obliki (39).

Primer 2. Izračunaj določen integral

rešitev. Uporaba formule

Lastnosti določenega integrala

2. izrek.Vrednost določenega integrala ni odvisna od oznake integracijske spremenljivke, tj.

(40)

Pustiti F(x) – protiizpeljanka za f(x). Za f(t) protiizpeljava ima isto funkcijo F(t), v kateri je neodvisna spremenljivka le drugače označena. torej

Na podlagi formule (39) zadnja enakost pomeni enakost integralov

Izrek 3.Konstantni faktor lahko vzamemo iz predznaka določenega integrala, tj.

(41)

Izrek 4.Določeni integral algebraične vsote končnega števila funkcij je enak algebraični vsoti določenih integralov teh funkcij, tj.

(42)

Izrek 5.Če segment integracije razdelimo na dele, potem je določen integral po celotnem segmentu enak vsoti določenih integralov po njegovih delih., tj. če

(43)

Izrek 6.Pri preurejanju meja integracije se absolutna vrednost določenega integrala ne spremeni, spremeni se le njegov predznak, tj.

(44)

Izrek 7(teorem o srednji vrednosti). Določen integral je enak zmnožku dolžine integracijskega segmenta in vrednosti integranda na neki točki znotraj njega, tj.

(45)

Izrek 8.Če je zgornja meja integracije večja od spodnje in je integrand nenegativen (pozitiven), potem je tudi določeni integral nenegativen (pozitiven), tj. če

Izrek 9.Če je zgornja meja integracije večja od spodnje in sta funkciji in zvezni, potem velja neenakost

se lahko integrira po izrazih, tj.

(46)

Lastnosti določenega integrala omogočajo poenostavitev neposrednega izračuna integralov.

Primer 5. Izračunaj določen integral

Z uporabo izrekov 4 in 3 ter pri iskanju protiodvodov - tabelnih integralov (7) in (6) dobimo

Določen integral s spremenljivo zgornjo mejo

Pustiti f(x) – neprekinjeno na segmentu [ a, b] funkcijo in F(x) je njegov antiderivat. Razmislite o določenem integralu

(47)

in skozi t integracijska spremenljivka je označena tako, da je ne zamenjamo z zgornjo mejo. Ko se spremeni X spremeni se tudi določeni integral (47), tj. je funkcija zgornje meje integracije X, ki jih označujemo z F(X), tj.

(48)

Dokažimo, da funkcija F(X) je protiizpeljanka za f(x) = f(t). Res, razlikovanje F(X), dobimo

Ker F(x) – protiizpeljanka za f(x), A F(a) je konstantna vrednost.

funkcija F(X) – eden od neskončnega števila antiizpeljank za f(x), namreč tista, ki x = a gre na nič. To trditev dobimo, če v enačbo (48) vstavimo x = a in uporabi izrek 1 prejšnjega odstavka.

Računanje določenih integralov z metodo integracije po delih in metodo spremembe spremenljivke

kjer je po definiciji F(x) – protiizpeljanka za f(x). Če spremenimo spremenljivko v integrandu

potem lahko v skladu s formulo (16) zapišemo

V tem izrazu

antiderivativna funkcija za

Pravzaprav njena izpeljanka, po pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij, je enako

Naj sta α in β vrednosti spremenljivke t, za katerega funkcija

ustrezno zavzema vrednosti a in b, tj.

Toda glede na formulo Newton-Leibniz razlika F(b) – F(a) Tukaj je